問題文全文(内容文)：
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k=?}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^2=?}$

問題文全文(内容文)：
$n$は自然数であり,$a_n=2^n,b_n=3n+2$とする.
数列$a_n$の項のうち数列$b_n$の項でもあるものを小さい順に並べた数列$C_n$を求めよ.

1979大阪大過去問

問題文全文(内容文)：
（1）
$A\ne 0$　$a_1=1,a_2=2A$
$a_{n+2}=2A{a}_{n+1}-A^2{a}_n$
一般項を求めよ。


（2）
${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^2(1={\cos }^3{\displaystyle \frac{1}{x})}}$
極限値を求めよ。

出典：数学検定準１級　過去問

問題文全文(内容文)：
年齢1の1つの個体から始めて、以下の操作1,2を$n$回おこなった後の全個体の年齢数の合計を$S_n$とする。
操作1.
　年齢1の各個体から年齢0の$k$個の個体を発生される。
　ただし、$k>1$とする。

操作2.
　全個体の年齢をそれぞれ1増やす。

次の問いに答えよ。
（1）
$k=2$のとき$S_4$を求めよ。

（2）
操作1,2を$n$回おこなった後の平均年齢を$A_n$とするとき、$A_n<{\displaystyle \frac{k}{k-1}}$となることを示せ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$座標平面上でx座標とy座標がいずれも整数である点を格子点と呼ぶ。それぞれ
の正の整数nについて、4つの格子点$A_n(n,n),B_n(-n,n),C_n(-n,-n),D_n(n,-n)$
が作る正方形をJ_nとする。また、$(n-1,n)$にある格子点を$P_n$とする。
$\left\{a_k\right\}$を初項$a_1$が$-56$で、交差が$\frac{1}{4}$の等差数列とし、数列$\left\{a_k\right\}$の各項を以下の
ようにして格子点上順番に割り当てていく。
1.初項$a_1$は格子点$P_1$に割り当てる。
2.$a_l$が正方形$J_m$の周上にある格子点で$A_m$以外の点に割り当てられているときには、
$J_m$の周上でその点から半時計回り(右図(※動画参照)での矢印が示す方向)に一つ移動
した格子点に$a_{l+1}$を割り当てる。
3$.a_l$が格子点$A_m$に割り当てられているときには、$a_{l+1}$を格子点$P_{m+1}$に割り当てる。

全体としては、図に示されているようにして、格子点をたどっていくことになる。
(1)格子点$P_n$に割り当てられる数列$\left\{a_k\right\}$の項を$p_n$とし、格子点$C_n$に割り当て
られる数列$\left\{a_k\right\}$の項を$c_n$とする。
このとき、$p_4=-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}, c_4=-\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}\mathrm{エ}\mathrm{オ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}$である。
(2)上で定めた$p_n$を用いて、$q_n$を数列$\left\{p_n\right\}$の初項$p_1$から第n項$p_n$までの和とする。
$q_n$をnを使って表すと、$q_n=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}{n}^3-\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}\mathrm{コ}\mathrm{サ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}n$である。
(3)上で定めた$q_n$が最小値を取るのは、$n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$または$n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$のときであり、
その値は#$-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}\mathrm{タ}\mathrm{チ}}}$である。

2021慶應義塾大学商学部過去問