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内積の基本計算（直角三角形ABCにおける内積計算)

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$\boxed{5}$

座標平面の原点$O$を中心とする半径$1$の

球面を$C$、点$M(4,0,0)$を中心とする

半径$2$の球面上を$D$とする。

(1)$p,q$を実数とする。

$xy$平面上の直線$y=px+q$は、

球面$C$と$xy$平面が交わってできる円と

点$A_1$で接し、球面$D$と$xy$平面が交わって

できる円と点$A_2$で接し、かつ

$0 \lt p 1$を満たすとする。$p$と$q$の値を求めよ。

(2)$r,s$を実数とする。

$zx$平面上の直線$z=rx+s$は、球面$C$と

$zx$平面が交わってできる円と点$B_1$で接し、

球面$D$と$zx$平面が交わってできる円と点$B_2$で

接し、かつ、$r \lt -1$を満たすとする。

$r$と$s$の値を求めよ。

以下、点$E$は$\overrightarrow{ A_1 E }=(0,0,1)$を満たすとし、

$3$点$A_1,A_2,E$を通る平面を$\alpha$とする。

また、点$F$は$\overrightarrow{ B_1 E }=(0,1,0)$を満たすとし、

$3$点$B_1,B_2,F$を通る平面を$\beta$とする。

$\alpha$と$\beta$が交わってできる直線を

$\ell$とし、$\ell$と$xy$平面の交点を

$G,\ell$と$zx$平面の交点を$H$とする。

(3)$G$の座標を求めよ。

(4)$\ell$上の点$T$を、実数$t$を用いて

$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OG}+t\overrightarrow{OH}$と表す。

$\triangle OMT$の面積が最小となる$t$の値の求めよ。

$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題

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$\boxed{1}$

(6)空間のベクトル$\vec{ p}=(x,y,z)$は

$\vec{b}=(0,3,2)$の両方に垂直であり、

$\vec{\vert p \vert}=7$かつ$z \gt 0$を

満たしている。

このとき、$\vec{p}=(\boxed{ク},\boxed{ケ},\boxed{コ})$である。

$2025$年立教大学経済学部過去問題

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問題1
次の3点を頂点とする三角形の面積$S$を求めよ。
(1)$O(0, 0), A(2, -3), B(-1, 2)$
(2)$A(1, 2), B(2+\sqrt{ 3}, 1+\sqrt{ 3}), C(2, 2+\sqrt{ 3 })$
(3)$A(1+\sqrt{ 3 }, 2), B(\sqrt{ 3 }, 5), C(4+\sqrt{ 3 }, 1)$

問題2
$\triangle OAB$において、$\overrightarrow{ OA } = \vec{ a } , \overrightarrow{ OB } = \vec{ b }$とする。$|\vec{ a }|=2, |\vec{ b }|=3, |\vec{ a }+\vec{ b }|=4$のとき、$\triangle OAB$の面積$S$を求めよ。

問題3
$\angle A=60°, AB=8, AC=5$である$\triangle ABC$の内心を$I$とする。$\overrightarrow{ AB } = \vec{ b }, \overrightarrow{ AC } = \vec{ c }$とするとき、$\overrightarrow{ AI }$を$\vec{ b }, \vec{ c }$を用いて表せ。

問題4
三角形ABCの辺BC, CA, ABの中点をそれぞれA(1), B(1), C(1)とし、平面上の任意の点Oに対し、線分OA, OB, OCの中点をそれぞれA(2), B(2), C(2)とする。線分A(1)A(2), B(1)B(2),C(1)C(2)の中点は一致することを証明せよ。

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【数学】ベクトルの面積公式の語呂合わせ・証明のまとめ動画です