問題文全文(内容文)：

$\boxed{5}$

$\triangle OAB$は鋭角三角形であり、

$\vert \overrightarrow{OA}\vert=4,\vert \overrightarrow{OB}\vert=3$

を満たしている。

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=k$とおくとき、以下の問いに答えよ。

(1)$k$のとり得る値の範囲を求めよ。

上で与えた$\triangle OAB$の頂点$A,B$から

それぞれの対辺に下ろした$2$本の垂線の交点

を$H$とし、辺$AB$を$2:1$に内分する点を$C$とする。

(2)$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$および$k$を用いて表せ。

(3)$3$点$O,H,C$が同一直線上にあるとき、

$k$の値と$\dfrac{OH}{OC}$を求めよ。

$2025$年青山学院大学理工学部過去問題

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 点Oを原点とする座標平面上の$\overrightarrow{0}$でない2つのベクトル
$\overrightarrow{m}$=($a$, $c$), $\overrightarrow{n}$=($b$, $d$)
に対して、D=ad-bc とおく。座標平面上のベクトル$\overrightarrow{q}$に対して、次の条件を考える。
条件Ⅰ　$r\overrightarrow{m}$+$s\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{q}$を満たす実数r, sが存在する。
条件Ⅱ　$r\overrightarrow{m}$+$s\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{q}$を満たす整数r, sが存在する。
以下の問いに答えよ。
(1)条件Ⅰがすべての$\overrightarrow{q}$に対して成り立つとする。D $\ne$ 0であることを示せ。
以下、D $\ne$ 0であるとする。
(2)座標平面上のベクトル$\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$で
$\overrightarrow{m}・\overrightarrow{v}$=$\overrightarrow{n}・\overrightarrow{w}$=1,　$\overrightarrow{m}・\overrightarrow{w}$=$\overrightarrow{n}・\overrightarrow{v}$=0
を満たすものを求めよ。
(3)さらにa, b, c, dが整数であるとし、x成分とy成分がともに整数であるすべてのベクトル$\overrightarrow{q}$に対して条件Ⅱが成り立つとする。Dのとりうる値をすべて求めよ。

2023九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\vec{ a }=(5 ,0) $ ,$\vec{ b }=(-2 ,3)$ とする。
等式 $2\vec{ x }+\vec{ y }=\vec{ a }$ , $\vec{ x }+2\vec{ y }=\vec{ b }$ を満たす$\vec{ x }$,$\vec{ y }$ を成分表示せよ。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{3}$

四面体$OABC$において、

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$とする。

点$D$は

$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$を満たすとする。

このとき、以下の問いに答えよ。

(1)四面体$OABC$の体積を$V$とするとき、

四角錐$OABDC$の体積を$V$を用いて表せ。

(2)$\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$で表せ。


(3)線分$AD$と線分$BC$の交点を$P$とするとき、

$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ。

(4)四面体$OABC$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとき、

線分$OD$の長さを求めよ。

$2025$年東北大学文系過去問題

問題文全文(内容文)：
ベクトル $\vec{a}=(1,1), \vec{b} = (1,-1), \vec{c} = (1,2)$ に対して、
$(x \vec{a} + y \vec{b}) \perp \vec{c}, |x \vec{a}+ y \vec{b}| = 2 \sqrt{5}$ であるように、
実数$x,y$ の値を定めよ。