福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第6問〜3次関数の増減と最大値と面積

問題文全文(内容文)：

6

a

b

p

を実数とする。関数

f (x)

x^{3}

a x^{2}

b x

+17　は

x

p

で極大値、

x

- 4 p

で極小値をとり、

f (- 2 p)

=-17　を満たすとする。
(1)

a

b

p

の値、および

f (x)

の極大値

M

、極大値

m

を、それぞれ求めよ。
(2)(1)で求めた

a

b

および0≦

t

≦5　を満たす実数

t

に対して、区間0≦

x

≦

t

　における|

f (x)

|の最大値を

g (t)

とする。

t

の値について場合分けをして、それぞれの場合に

g (t)

を求めよ。
(3)(2)で求めた

g (t)

に対して、定積分

I

\int_{0}^{5} g (t) d t

　を求めよ。

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

6

a

b

p

を実数とする。関数

f (x)

x^{3}

a x^{2}

b x

+17　は

x

p

で極大値、

x

- 4 p

で極小値をとり、

f (- 2 p)

=-17　を満たすとする。
(1)

a

b

p

の値、および

f (x)

の極大値

M

、極大値

m

を、それぞれ求めよ。
(2)(1)で求めた

a

b

および0≦

t

≦5　を満たす実数

t

に対して、区間0≦

x

≦

t

　における|

f (x)

|の最大値を

g (t)

とする。

t

の値について場合分けをして、それぞれの場合に

g (t)

を求めよ。
(3)(2)で求めた

g (t)

に対して、定積分

I

\int_{0}^{5} g (t) d t

　を求めよ。

投稿日：2024.07.03

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次の式を同時に満たす点

(x, y)

の存在する部分の面積を求めよ。

y ≧ x^{2} + 1, y ≧ x + 3, y ≦ x + 7

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問題文全文(内容文)：
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C : y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x

原点を通り、原点以外でCと接する直線l
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\int_{- 2}^{3} (3 \sqrt{x^{4} - 6 x^{2} + 9} - 4 x) d x

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問題文全文(内容文)：

y = x^{2}

と

y = - (x - a)^{2} + b

とによって囲まれる面積が

\frac{1}{3}

となるための必要十分条件を

a, b

を用いて表せ

出典：1975年東京大学　過去問

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問題文全文(内容文)：

1

a

を正の実数とし、

f (x)

x^{2}

－

2 a x

4 a^{2}

とする。Oを原点とする

x y

平面上の放物線C：

y

f (x)

の頂点をAとする。直線OAとCの交点のうちAと異なるものをP(

p

f (p)

)とし、OからCへ引いた接線の接点をQ(

q

f (q)

)とする。ただし、

q

＞0 とする。
(1)

p

q

の値を

a

を用いて表せ。また、

p

＞

q

であることを示せ。
(2)放物線Cの

q

≦

x

≦

p

の部分、線分OP、および線分OQで囲まれた図形の面積をSとおく。Sを

a

を用いて表せ。
(3)(2)のSに対し、S=

\frac{2}{3}

となるときの

a

の値を求めよ。

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