福田の数学〜立教大学2021年経済学部第2問〜2項間の漸化式の解法 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜立教大学2021年経済学部第2問〜2項間の漸化式の解法

問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 次の条件によって定められる数列\left\{a_n\right\}がある。\\
a_1=1, a_{n+1}=3a_n+4n (n=1,2,3,\ldots)\\
また、nに無関係な定数p,qに対し、\\
b_n=a_n+pn+q (n=1,2,3,\ldots)\\
とおく。このとき次の問いに答えよ。\\
(1)n,p,qに無関係な定数A,B,C,D,Eが\\
b_{n+1}=Ab_n+(Bp+C)n+(Dp+Eq) (n=1,2,3,\ldots)\\
を満たすとき、A,B,C,D,Eの値をそれぞれ求めよ。\\
(2)Aを(1)で求めた値とする。数列\left\{b_n\right\}が公比Aの等比数列となるような\\
p,qの値をそれぞれ求めよ。\\
(3)(2)で求めたp,qの値に対して、数列\left\{b_n\right\}の一般項を求めよ。
\end{eqnarray}

2021立教大学経済学部過去問
単元: #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 次の条件によって定められる数列\left\{a_n\right\}がある。\\
a_1=1, a_{n+1}=3a_n+4n (n=1,2,3,\ldots)\\
また、nに無関係な定数p,qに対し、\\
b_n=a_n+pn+q (n=1,2,3,\ldots)\\
とおく。このとき次の問いに答えよ。\\
(1)n,p,qに無関係な定数A,B,C,D,Eが\\
b_{n+1}=Ab_n+(Bp+C)n+(Dp+Eq) (n=1,2,3,\ldots)\\
を満たすとき、A,B,C,D,Eの値をそれぞれ求めよ。\\
(2)Aを(1)で求めた値とする。数列\left\{b_n\right\}が公比Aの等比数列となるような\\
p,qの値をそれぞれ求めよ。\\
(3)(2)で求めたp,qの値に対して、数列\left\{b_n\right\}の一般項を求めよ。
\end{eqnarray}

2021立教大学経済学部過去問
投稿日:2021.10.16

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問題文全文(内容文):
$\displaystyle \frac{1}{2!}+\displaystyle \frac{2}{3!}+\displaystyle \frac{3}{4!}+\displaystyle \frac{4}{5!}+\displaystyle \frac{5}{6!}$を計算してください。
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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、次式が成り立つ。
$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}, p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_{ n } はM_{ n }=n+\fbox{ス}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_{ n }はR_{ n }=M_{ n }×P_{ n }$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\fbox{セ}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{ n+1 }=R_{ n }+(1-P_{ n })×\fbox{セ}$となる。したがって、
$P_{ n+1 }=\dfrac{n+\fbox{ソ}}{n+\fbox{タ}}×P_{ n }+\dfrac{1}{n+\fbox{チ}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)×(n+\fbox{ツ})×(P_{n}-\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}})$がnに依らず一定となる事が分かり、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } P_n =\dfrac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$と求められる。

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$7+77+777+・・・・・・+\overbrace{77・・・・77}^{ n桁 }$
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問題文全文(内容文):
数列 $1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5\cdots$について次を求めよ。
(1)第100項
(2)初項から第100項までの和


数列 $\displaystyle \frac{2}{3} \frac{2}{5} \frac{4}{5} \frac{2}{7} \frac{4}{7} \frac{6}{7} \frac{2}{9} \frac{4}{9} \frac{6}{9} \frac{8}{9} \frac{2}{11}\cdots$について

次の問いに答えよ。
(1)$\displaystyle \frac{4}{15}$は第何項か。
(2)第100項は何か。
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