問題文全文(内容文)：
【数B】次の和$S_n$を求めよ。
$S_n=\dfrac{1}{1+\sqrt3}+\dfrac{1}{\sqrt3+\sqrt5}+\dfrac{1}{\sqrt5+\sqrt7}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$

問題文全文(内容文)：

$\boxed{3}$

点$P, Q$を数直線の原点におき、
$1$個のさいころを投げて
出た目に応じて$P, Q$を動かす。
偶数の目が出たときは$P$を正の向きに$1$だけ動かし、
$5$または$6$の目が出たときは
$Q$を正の向きに$1$だけ動かす。
たとえば、$6$の目が出たときは$P, Q$をともに
正の向きに$1$だけ動かす。
$P$と$Q$の距離が初めて$2$となるまで
さいころを投げ続けることとし、
$P$と$Q$の距離が$2$となったら、
それ以降はさいころを投げない。
$n$回さいころを投げて$P$と$Q$の距離が
$2$となる確率を$p_n$とする。

(1)$P_2 = \boxed{シ}$である。

(2)$n$回さいころを投げて、
$P$が$Q$よりも正の向きに
$1$だけ進んでいる確率を$x_n$、
$P$と$Q$が同じ位置にある確率を$y_n$、
$Q$が$P$よりも正の向きに$1$だけ進んでいる確率を
$z_n$とすると、

$y_{n+1}=\boxed{ス}x_n+\boxed{セ}y_n+\boxed{ソ}z_n$

という関係式が成立する。

また、$x_n=\boxed{タ}z_n$が成り立つ。

ただし、$\boxed{ス}$～$\boxed{タ}$には数を記入すること。

(3)関係式

$z_{n+1}+\alpha y_{n+1}=\beta(z_n+\alpha y_n)$

を満たす定数の組$(\alpha,\beta)$は$\boxed{チ}$と$\boxed{ツ}$の$2$組ある。

(4)$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=\boxed{テ}$となる。

$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題

問題文全文(内容文)：
0＜a＜bとする。数列a,u,v,w,bが等差数列であり、数列a,x,y,z,bが等比数列（公比は実数）である。
(1) uwとxzの大小を比較せよ。
(2) u+wと、x+zの大小を比較せよ。

問題文全文(内容文)：
次の和を求めよう.

①$\displaystyle \sum_{k=1}^n {(4k+3)}$

②$\displaystyle \sum_{k=1}^n {(-3k^2+2k+4)}$

③$\displaystyle \sum_{k=1}^n {4･5^{k-1}}$

④$\displaystyle \sum_{k=1}^n {(k+1)(4k-3)}$

問題文全文(内容文)：
$a_{2n-1}=n,a_{2n}=a_{n}(n=1,2,3…)$

（1）
$a_{24}$を求めよ

（2）
$a_{1}～a_{1000}$の中に6はいくつあるか。

出典：2010年信州大学医学部　過去問