問題文全文(内容文)：
$ \displaystyle \lim_{x \to a}\dfrac{x^3-a^3}{x^2-a^2}$を求めよ.

問題文全文(内容文)：
次の極限値を求めよう。
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{\sin\left(\dfrac{\sin x}{\pi}\right)}{x}$

問題文全文(内容文)：
次の極限を求めよ。

①$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2-n+2}{3n^2-5}$

②$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{5n^2-1}{4+n}$

③$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n)$

④$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2-2n}-n)$

⑤$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{4n}{\sqrt{n^2+n}+3n}$

⑥$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{5}{\sqrt{n^2+2n}-n}$

問題文全文(内容文)：
関数f(x)は実数全体で定義されており、$x\leqq 2$において
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}x\leqq f(x)\leqq 2-x$
を満たしているものとする。数列{$a_{ n }$}は漸化式
$a_{ n+1 }=a_{ n }+f(a_{ n })$
を満たしているものとする。
(i)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、すべての自然数nに対して、$a_{ 1 } \leqq a_{ n }\leqq2$となる事を証明しなさい。
(ii)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、$a_{ 1 }$の値によらず$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = 2$となる事を証明しなさい。

問題文全文(内容文)：
$p$を$2$以上の自然数の定数とする。$n$=$2$, $3$, $4$...に対して、関数 $f_n(x) $$(n\gt0)$を

$f_n(x) = (1 + \dfrac{x}{n})(1 + \dfrac{x}{n+1}) \cdot\cdot \cdot(1 + \dfrac{x}{pn})
$

で定める。例えば$p$ = $2$のとき

$
f_2(x) = (1 + \dfrac{x}{2})(1 + \dfrac{x}{3})(1 + \dfrac{x}{4})
$

$
f_3(x) = (1 + \dfrac{x}{3})(1 + \dfrac{x}{4})(1 + \dfrac{x}{5})(1 + \dfrac{x}{6})
$

である。$f(x)=\displaystyle \lim_{ n \to \infty }f_n(x)$ $(n\gt0)$とおくとき、次の問に答えよ。

$(1)$$t$$\geqq$$0$のとき、不等式$\dfrac{t}{1+t}$$\leqq$$\log(1+t)$$\leqq$$t$ が成り立つことを示せ。ただし、対数は自然対数とする。

$(2)$ $f(x)$を求めよ。