問題文全文(内容文)：
点Oを中心とし、半径1の円に内接する$\mathrm{△}ABC$が
$\overrightarrow{OA}+\sqrt{3}\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$　を満たしている。
(1)内積$\overrightarrow{OA}\mathrm{・}\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OA}\mathrm{・}\overrightarrow{OC}$を求めよ。
(2)$\mathrm{△}ABC$　の面積を求めよ。
(3)辺$BC$の長さ、および頂点Aから
辺$BC$に引いた垂線の長さを求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}$(2)三角形ABC内に点Pがあり、$3\overrightarrow{PA}+5\overrightarrow{PB}+7\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$のとき、
$\overrightarrow{AP}=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}\overrightarrow{AB}+\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}\mathrm{コ}}}}\overrightarrow{AC}$
となるので、$\mathrm{△}PAB:\mathrm{△}PBC:\mathrm{△}PCA=\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}1:1:1 \mathrm{①}3:5:7 \mathrm{②}5:7:3 \mathrm{③}7:3:5 \mathrm{④}9:25:49$
$\mathrm{⑤}25:49:9 \mathrm{⑥}49:9:25 \mathrm{⑦}\frac{1}{3}:\frac{1}{5}:\frac{1}{7} \mathrm{⑧}\frac{1}{5}:\frac{1}{7}:\frac{1}{3} \mathrm{⑨}\frac{1}{7}:\frac{1}{3}:\frac{1}{5}$

2021明治大学全統過去問

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{△}OAB$において
$OA=3,OB=2$
$\mathrm{\angle }AOB={60}^{\circ }$
$\mathrm{△}OAB$の垂心を$H$とする。
$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$で表せ。

出典：2021年京都大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に、3点A,B,Cがあり、
$\overrightarrow{OA}\mathrm{・}\overrightarrow{OB}=-\frac{2}{3}\mathrm{お}\mathrm{よ}\mathrm{び}\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}$を満たすとする。tを$0<t<1$を満たす
実数とし、線分ABを$t:(1-t)$に内分する点をPとする。
また、直線OP上に点Qをとる。

(1)$\cos \mathrm{\angle }AOB=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}$　である。
また、実数$k$を用いて、$\overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP}$と表せる。したがって
$\overrightarrow{OQ}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}\overrightarrow{OA}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}\overrightarrow{OB} \dots \dots \dots \dots \mathrm{①}$
$\overrightarrow{CQ}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}\overrightarrow{OA}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}\overrightarrow{OB}$
となる。
$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OP}$が垂直となるのは、$t=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}$　のときである。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}} ～ \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$kt$　　①$(k-kt)$　　②$(kt+1)$
③$(kt-1)$　④$(k-kt+1)$　　⑤$(k-kt-1)$

以下、$t\ne \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}$とし、$\mathrm{\angle }OCQ$が直角であるとする。

(2)$\mathrm{\angle }OCQ$が直角であることにより、(1)のkは
$k=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}t-\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}} \dots \mathrm{②}$
となることがわかる。

平面から直線OAを除いた部分は、直線OAを境に二つの部分に分けられる。
そのうち、点Bを含む部分を$D_1$、含まない部分を$D_2$とする。また、平面
から直線OBを除いた部分は、直線OBを境に二つの部分に分けられる。
そのうち、点Aを含む部分を$E_1$、含まない部分を$E_2$とする。
・$0<t<\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}$ならば、点Qは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$。
・$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}<t<1$ならば、点Qは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}、\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$D_1$に含まれ、かつ$E_1$に含まれる
①$D_1$に含まれ、かつ$E_2$に含まれる
②$D_2$に含まれ、かつ$E_1$に含まれる
③$D_2$に含まれ、かつ$E_2$に含まれる

(3)太郎さんと花子さんは、点Pの位置と$|\overrightarrow{OQ}|$の関係について考えている。
$t=\frac{1}{2}$のとき、①と②により、$|\overrightarrow{OQ}|=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}$とわかる。

太郎:$t\ne \frac{1}{2}$のときにも、$|\overrightarrow{OQ}|=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}$となる場合があるかな。
花子:$|\overrightarrow{OQ}|$を$t$を用いて表して、$|\overrightarrow{OQ}|=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}$
を満たすtの値について考えればいいと思うよ。
太郎:計算が大変そうだね。
花子:直線OAに関して、$t=\frac{1}{2}$のときの点Qと対称な点をRとしたら
$|\overrightarrow{OR}|=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}$となるよ。
太郎:$\overrightarrow{OR}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表すことができれば、
tの値が求められそうだね。

直線OAに関して、$t=\frac{1}{2}$のときの点Qと対称な点をRとすると
$\overrightarrow{CR}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}\overrightarrow{CQ}$
$=\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}\overrightarrow{OA}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}\overrightarrow{OB}$
となる。
$t\ne \frac{1}{2}$のとき、$|\overrightarrow{OQ}|=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}$となるtの値は$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}$である。

2021共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
ベクトルと面積比の説明動画です