問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 2}}$　整式$f(x)=x^4-x^2+1$　について、以下の問いに答えよ。
(1)$x^6$を$f(x)$で割った時の余りを求めよ。
(2)$x^{2021}$を$f(x)$で割った時の余りを求めよ。
(3)自然数$n$が$3$の倍数であるとき、$(x^2-1{)}^n-1$
が$f(x)$で割りきれることを示せ。

2021早稲田大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
a>0,b>0,c>0のとき、(a+b)(b+c)(c+a)≧8abc が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。

問題文全文(内容文)：
$\frac{2}{x}+\frac{x-2}{x^2+x}$を簡単にせよ

千葉工業大学

問題文全文(内容文)：
定積分について述べた次の文章を読んで、後の問いに答えよ。
$f(x)$を整式とする。$F^{\prime }(x)=f(x)$となる$F(x)$を1つ選び、
$f(x)$のaからbまでの定積分を
$\text{You can't use 'macro parameter character \#' in math mode}$
で定義する。定積分の値はF(x)の選び方によらずに定まる。
定積分は次の性質(A),(B),(C)をもつ。
(A)${\int }_a^b\{kf(x)+lg(x)\}dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx+l{\int }_a^{b}g(x)dx$
(B)$a\leqq c\leqq b$のとき、${\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx$
(C)区間$a\leqq x\leqq b$において$g(x)\geqq h(x)$ならば、${\int }_a^{b}g(x)dx\geqq {\int }_a^{b}h(x)dx$
ただし、f(x),g(x),h(x)は整式、k,lは定数である。
以下、$f(x)$が区間$0\leqq x\leqq 1$上で増加関数になる場合を考える。
$n$を自然数とする。定積分の性質$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$を用い、定数関数に対する定積分の計算を行うと、
$\frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n})\leqq {\int }_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx\leqq \frac{1}{n}f(\frac{i}{n}) (i=1,2,\dots ,n) \dots \mathrm{②}$
が成り立つことがわかる。$S_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(\frac{i-1}{n})$とおくと、
不等式②と定積分の性質$\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$より次の不等式が成り立つ。
$0\leqq {\int }_0^{1}f(x)dx-S_n\leqq \frac{f(1)-f(0)}{n} \dots \mathrm{③}$
よって、$n$を限りなく大きくすると$S_n$は${\int }_0^{1}f(x)dx$に限りなく近づく。

(1)関数F(x),G(x)が微分可能であるとき、${\{F(x)+G(x)\}}^{\prime }=F^{\prime }(x)+G^{\prime }(x)$が
成り立つことと定積分の定義①を用いて、性質(A)で$k=l=1$とした場合の等式
${\int }_a^b\{f(x)+g(x)\}dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$　を示せ。
(2)定積分の定義①と関数の増減と導関数の関係を用いて、次を示せ。
$a<b$のとき、区間$a\leqq x\leqq b$において$g(x)>0$ならば、${\int }_a^{b}g(x)dx>0$
(3)(A),(B),(C)のうち、空欄$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$に入る記号として最もふさわしいものを
1つ選び答えよ。また、文章中の下線部の内容を詳しく説明することで、
不等式②を示せ。
(4)(A),(B),(C)のうち、空欄$\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$に入る記号として最もふさわしいものを
1つ選び答えよ。また、不等式③を示せ。

2022九州大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
${\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}={\displaystyle \frac{4x-1}{2}}}$

出典：1933年東京帝国大学　入試問題