【数Ⅲ】【微分とその応用】不等式の応用5 ※問題文は概要欄

問題文全文(内容文)：
次のことが成り立つことを証明せよ。

0 ≦ x ≦ 1

のとき

1 - x + x ² e^{x} ≦ e^{x} ≦ 1 + x + \frac{1}{2} x ² e^{x}

チャプター：

0:00　問題概要
0:35　左側の証明開始
2:37　右側の証明開始

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次のことが成り立つことを証明せよ。

0 ≦ x ≦ 1

のとき

1 - x + x ² e^{x} ≦ e^{x} ≦ 1 + x + \frac{1}{2} x ² e^{x}

投稿日：2025.01.22

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1)

x > 0

において、不等式

\log x < x

を示せ。
(2)

1 < a < b

のとき、不等式

\frac{1}{\log a} - \frac{1}{\log b} < \frac{b - a}{a (\log a)^{2}}

を示せ。
(3)

x ≧ e

において、不等式

\int_{e}^{x} \frac{d t}{t \log (t + 1)} ≧ \log (\log x) + \frac{1}{2 (\log x)^{2}} - \frac{1}{2}

を示せ。ただし、eは自然対数の底である。

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問題文全文(内容文)：
数学

III

　不等式の証明(4)

(x + 2) \log (x + 1) ≧ 2 x (x ≧ 0)

を証明せよ。

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問題文全文(内容文)：
（1）

f (x) = x^{- 2} 2^{x}

(x \neq 0)

f^{'} (x) > 0

となる条件を求めよ

（2）

2^{x} = x^{2}

実数解の個数を求めよ

（3）

2^{x} = x^{2}

の有理数解をすべて求めよ

出典：2015年名古屋大学　過去問

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

x y

平面上において、以下の媒介変数表示をもつ曲線を

C

とする。

{\begin{matrix} x = \sin t + \frac{1}{2} \sin 2 t \\ y = - \cos t - \frac{1}{2} \cos 2 t - \frac{1}{2} \end{matrix}

ただし、0≦

t

≦

π

とする。
(1)

y

の最大値、最小値を求めよ。
(2)

\frac{d y}{d t}

<0　となる

t

の範囲を求め、

C

の概形を

x y

平面上に描け。
(3)

C

を

y

軸のまわりに1回転してできる立体の体積

V

を求めよ。

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e^πとπ^e どっちがでかい？

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問題文全文(内容文)：

e^{π}

と

π^{e}

どっちがでかい？

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