問題文全文(内容文)：
数列$\{a_n\}$は
$a_1=9,a_{n+1}=4a_n+5^n(n=1,2,・・・)$をみたす。このとき、次の問いに答えよ。

（1）$b_n=a_n-5^n$とおく。$b_{n+1}$を$b_n$で表せ。
（2）数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ xy平面上で、x座標とy座標がともに正の整数であるような各点に、下の図のような番号をつける。(※動画参照)点(m, n)につけた番号をf(m, n)とする。
たとえば、$f(1, 1)=1, f(3, 4)=19$ である。
(1)$f(m, n)+f(m+1, n+1)=2f(m, n+1)$
が成り立つことを示せ。
(2)$f(m, n)+f(m+1, n)+f(m, n+1)+f(m+1, n+1)=2023$
となるような整数の組(m, n)を求めよ。

2023一橋大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 赤玉と黒玉が入っている袋の中から無作為に玉を1つ取り出し、取り出した玉を袋に戻した上で、取り出した玉と同じ色の玉をもう1つ袋に入れる操作を繰り返す。以下の問いに答えよ。
(1)初めに袋の中に赤玉が1個、黒玉が1個入っているとする。n回の操作を行ったとき、赤玉をちょうどk回取り出す確率を$P_n(k)$(k=0,1,...,n)とする。
$P_1(k)$と$P_2(k)$を求め、さらに$P_n(k)$を求めよ。
(2)初めに袋の中に赤玉がr個、黒玉がb個(r≧1, b≧1)入っているとする。n回の操作を行ったとき、k回目に赤玉が、それ以外ではすべて黒玉が取り出される確率$Q_n(k)$(k=1,2,..., n)とする。$Q_n(k)$はkによらないことを示せ。

2023早稲田大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
1回の試行で事象Aの起こる確率が$\dfrac{1}{3}$であるとする。この試行をn回行うときに奇数回Aが起こる確率を$P_n$とする。
(1)$P_{n+1}$を$P_n$の式で表せ。
(2)$P_n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ nを自然数として、整式$(3x+2)^n$を$x^2$+$x$+1で割った余りを$a_nx$+$b_n$とおく。
(1)$a_{n+1}$と$b_{n+1}$を、それぞれ$a_n$と$b_n$を用いて表せ。
(2)全てのnに対して、$a_n$と$b_n$は7で割り切れないことを示せ。
(3)$a_n$と$b_n$を$a_{n+1}$と$b_{n+1}$で表し、全てのnに対して、2つの整数$a_n$と$b_n$は互いに素であることを示せ。

2023早稲田大学理工学部過去問