福田の数学〜京都大学2023年理系第4問〜複雑な関数の最大値と最小値 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜京都大学2023年理系第4問〜複雑な関数の最大値と最小値

問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{4}$ 次の関数f(x)の最大値と最小値を求めよ。
f(x)=$e^{-x^2}$+$\frac{1}{4}x^2$+1+$\frac{1}{e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1}$ (-1≦x≦1)
ただし、eは自然対数の底であり、その値はe=2.71...である。

2023京都大学理系過去問
単元: #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化(グラフ・最大最小・方程式・不等式)#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{4}$ 次の関数f(x)の最大値と最小値を求めよ。
f(x)=$e^{-x^2}$+$\frac{1}{4}x^2$+1+$\frac{1}{e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1}$ (-1≦x≦1)
ただし、eは自然対数の底であり、その値はe=2.71...である。

2023京都大学理系過去問
投稿日:2023.03.19

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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\Large{\boxed{1}}$
(3)$n$を正の整数とする。次の条件(i),(ii),(iii)を満たす$n$次関数$f(x)$のうち$n$が最小のものは、$f(x)$=$\boxed{\ \ ウ\ \ }$である。
(i) $f(1)$=2
(ii) $\displaystyle\int_{-1}^1(x+1)f(x)dx$=0
(iii) すべての正の整数$m$に対して、$\displaystyle\int_{-1}^1|x|^mf(x)dx$=0
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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
以下の問いに答えよ。
(1)連立不等式$x \geqq 2, 2^x \leqq x^y \leqq x^2$の表す領域をxy平面上に図示せよ。
ただし、自然対数の底eが$2 \lt e \lt 3$を満たすことを用いてよい。
(2)$a \gt 0$に対して、連立不等式$2 \leqq x \leqq 6, (x^y-2^x)(x^a-x^y) \geqq 0$
の表すxy平面上の領域の面積をS(a)とする。
$S(a)$を最小にするaの値を求めよ。

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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
数学$\textrm{III}$ 不等式の証明(5)
$b(\log a-\log b) \leqq a-b (a \gt 0, b \gt 0)$を証明せよ。
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