問題文全文(内容文)：
①$\overrightarrow{ e }$を単位ベクトルとするとき、$\overrightarrow{ e }$と平行で、大きさが5のベクトルを求めよう。

②$|\vec{ a }|=3$のとき、$\overrightarrow{ a }$と平行な単位ベクトルを求めよう。

③$\overrightarrow{ OA }=\overrightarrow{ a },\overrightarrow{ OB }=\overrightarrow{ b },\overrightarrow{ OP }=6\vec{ a }-3\vec{ b },\overrightarrow{ OQ }=2\vec{ a }+\overrightarrow{ b }$であるとき、$\overrightarrow{ PQ }//\overrightarrow{ AB }$であることを示そう。
ただし、$\overrightarrow{ a }≠0,\overrightarrow{ b }≠0$で、$\overrightarrow{ a }$と$\overrightarrow{ b }$は平行でないものとする。

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問題３　３つの単位ベクトル$\vec{ a },\vec{ b },\vec{ c }$が2$\vec{ a }+3\vec{ b }+4\vec{ c }=\vec{ 0 }$を満たすとき、$\vec{ a }$と$\vec{ c }$の内積$\vec{ a }・\vec{ c }$を求めなさい。
ただし、$\vec{ 0 }$は零ベクトルを表します。

問題４　複素数 $z＝－2－i$について、次の問いに答えなさい。ただし、iは虚数単位を表します。
　　　①　zの絶対値を求めなさい。
　　　②　zの偏角を$\theta$とします。このとき、$sin4\theta$の値を求めなさい。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 座標空間内の4点O(0,0,0), A(2,0,0), B(1,1,1), C(1,2,3)を考える。
(1)$\overrightarrow{OP}\bot\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OP}\bot\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OP}\bot\overrightarrow{OC}$=1　を満たす点Pの座標を求めよ。
(2)点Pから直線ABに垂線を下ろし、その垂線と直線ABの交点をHとする。
$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表せ。
(3)点Qを$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$により定め、Qを中心とする半径rの球面Sを考える。Sが三角形OHBと共有点を持つようなrの範囲を求めよ。ただし、三角形OHBは3点O, H, Bを含む平面内にあり、周とその内部からなるものとする。

2023東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$OA=6$、$OB=4$、$\angle AOB=60^{\circ}$ である $\triangle OAB$ において、頂点 $A$ から辺 $OB$ に垂線 $AC$、頂点 $B$ から辺 $OA$ に垂線 $BD$ を下ろす。線分 $AC$ と線分 $BD$ の交点を $H$ とするとき、$\overrightarrow{OH}$ を $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ を用いて表せ。

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ベクトル方程式の基礎について解説します。