問題文全文(内容文)：
※図は動画内
あるすごろくのゲ ー ムでは、 1 枚のコインを投げてその表裏でコマを前に進め、10 マス目のゴ ー ルを目指すものとする。
コマは、最初、 1 マス目のスタ ー トの位置にあり、コインを投げて表であれば 2マスだけコマを前に進め、裏であれば 1 マスだけコマを前に進める。ただし、 9マス目で表が出たために 10 マス目を超えて前に進めなくてはならなくなった場合には、ゴ ー ルできずにそこでゲ ー ムは終了するものとする。また、コインの表と裏は等しい確率で出るものとする。このとき、ある 1 回のゲ ー ムの中でnマス目(n= 1 , 2 ,・・・,10)にコマが止まる確率を$p_n$とすると,
$p_1=1,p_2=\frac{1}{2},p_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}},p_4={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$
である。
$p_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}{)}^n$
である。またコマがコールしたとき、スタートからゴールするまでにコインを投げた回数は平均${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$回である

2023慶應義塾大学総合政策学部過去問

問題文全文(内容文)：
複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_n$とすると、$p_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}, p_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_n$とすると、次式が成り立つ。
$p_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}}}, p_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_n\mathrm{は}{M}_n=n+\boxed{\text{ス}}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_n\mathrm{は}{R}_n=M_n\times P_n$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\boxed{\text{セ}}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{n+1}=R_n+(1-P_n)\times \boxed{\text{セ}}$となる。したがって、
$P_{n+1}={\displaystyle \frac{n+\boxed{\text{ソ}}}{n+\boxed{\text{タ}}}}\times P_n+{\displaystyle \frac{1}{n+\boxed{\text{チ}}}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)\times (n+\boxed{\text{ツ}})\times (P_n-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}})$がnに依らず一定となる事が分かり、${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{P}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}}$と求められる。

2023杏林大学医過去問

問題文全文(内容文)：
( 4 )正の整数 N に対して、の正の約数の個数を(い)とする。例えば、12の正の約数は 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 の 6 個であるから、$f(12)=6$である。
(i)$f(5040)=\boxed{\text{シ}}$である。
(ii)$f(k)=15$を満たす正の整数$k$のうち、 2 番目に小さいものは$\boxed{\text{ス}}$である。
(iii)大小2つのサイコロを投げるとき、出る目の積を$l$とおく。$f(l)=4$となる確率は$\boxed{\text{セ}}$である。
(iv)正の整数mとnは互いに素で、等式$f(mn)=3f(m)+5f(n)-13$を満たすとする。このとき、$mn$を最小にする$m$と$n$の組$(m,n)$は$\boxed{\text{ソ}}$である。

2023杏林大学医過去問

問題文全文(内容文)：
太郎は 15 個の球を、花子は幻個の球を持っている。による球のやり取りを 2 人の間で繰り返す。こから始めて、次の手順による球のやり取りを 2 人の間で繰り返す。
【１】 2 個のさいころを同時に投げる。
【 2 】① 2 個とも奇数の目が出たら、太郎が花子に 1 個の球を渡す。
　　　② 2 個とも偶数の目が出たら、太郎が花子に 2 個の球を渡す。
　　　③奇数の目と偶数の目 1 個ずつ出たら、花子が太郎に 3 個の球を渡す。
この手順【１】,【 2 】によるやり取りを、 7 回繰り返す。その結果、太郎と花子の持つ球の個数について、以下の間いに答えなさい。
( 1 )太郎と花子が同数の球を持っている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイウ}}}{\boxed{\text{エオカキ}}}}$である。
( 2 )持っている球の数が、太郎と花子の 2 人とも最初と変わらない確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケコ}}}{\boxed{\text{サシスセ}}}}$である。
( 3 )太郎の持っている球の数が、花子の持っている球の数の半分である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタチ}}}{\boxed{\text{ツテトナ}}}}$である。

2023慶應義塾大学商学部過去問

問題文全文(内容文)：
◎当たりくじ3本を含む10本のくじがある。
A,Bが個の順に1本ずつ1回だけ引くとき、次の確率を求めよう。
ただし、引いたくじは元に戻さない。

①A,Bともに当たる確率
②Bだけ当たる確率
③そこにCが合流して、A,B,Cの順に1本ずつ引いた時、1人だけが当たる確率