福田のわかった数学〜高校３年生理系024〜極限(24)関数の極限、三角関数の極限(4)

問題文全文(内容文)：
数学

III

　三角関数の極限(4)
次の極限を求めよ。
(1)

lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}

　　(2)

lim_{x \to - \infty} x \sin \frac{1}{x}

単元： #数Ⅱ#三角関数#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

　三角関数の極限(4)
次の極限を求めよ。
(1)

lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}

　　(2)

lim_{x \to - \infty} x \sin \frac{1}{x}

投稿日：2021.05.30

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

α

を実数とする。数列

{a_{n}}

が

a_{1}

α

a_{n + 1}

a_{n}

-1|+

a_{n}

-1　(n=1,2,3,...)
で定められるとき、以下の問いに答えよ。
(1)

α

≦1のとき、数列

{a_{n}}

の収束、発散を調べよ。
(2)

α

＞2のとき、数列

{a_{n}}

の収束、発散を調べよ。
(3)1＜

α

＜

\frac{3}{2}

のとき、数列

{a_{n}}

の収束、発散を調べよ。
(4)

\frac{3}{2} ≦ α

＜2のとき、数列

{a_{n}}

の収束、発散を調べよ。

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単元： #関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

　中間値の定理(3)
Aさんは300km離れた地点まで車でちょうど5時間かけて移動した。
このときこの300kmの中のどこか60kmの区間を
ちょうど1時間で通過したことを示せ。

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単元： #関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

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問題文全文(内容文)：

lim_{x \to \infty} (1 + \frac{4}{x}) = ? ? ?

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福田の数学・入試問題解説〜東北大学2022年理系第５問〜空間内の直線上の点列の極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標空間内において、ベクトル

\vec{a} = (1, 2, 1), \vec{b} = (1, 1, - 1), \vec{c} = (0, 0, 1)

が定める直線

l : s \vec{a}, l^{'} : t \vec{b} + \vec{c}

を考える。点

A_{1}

を原点(0,0,0)とし、点

A_{1}

から直線l'に下ろした垂線

A_{1} B_{1}

と
おく。次に、点

B_{1} (t_{1} \vec{b} + \vec{c})

から直線lに下ろした垂線を

B_{1} A_{2}

とおく。
同様に、点

A_{k} (s_{k} \vec{a})

から直線l'に下ろした垂線を

A_{k} B_{k}

、点

B_{k} (t_{k} \vec{b} + \vec{c})

から直線l
に下ろした垂線を

B_{k} A_{k + 1}

とする手順を繰り返して、点

A_{n} (s_{n} \vec{a}), B_{n} (t_{n} \vec{b} + \vec{c})

(nは正の整数)を定める。
(1)

s_{n}

を用いて

s_{n + 1}

を表せ。
(2)極限値

S = lim_{n \to \infty} s_{n}, T = lim_{n \to \infty} t_{n}

を求めよ。
(3)(2)で求めたS,Tに対して、点A,Bをそれぞれ

A (S \vec{a}), B (T \vec{b} + \vec{c})

とおくと、
直線ABは2直線l,l'の両方と直交することを示せ。

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

2 x^{3} + 3 n x^{2} - 3 (n + 1) = 0 (n

自然数

)

（1）

n

の値に関わらず正の解をただ一つだけもつことを示せ

（2）
正の解を

α_{n}

とする。

lim_{n \to \infty} α_{n}

を求めよ

出典：1998年信州大学　過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田のわかった数学〜高校３年生理系024〜極限(24)関数の極限、三角関数の極限(4)

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