3つの整数の最大公約数!解けますか?【京都大学】【数学 入試問題】 - 質問解決D.B.(データベース)

3つの整数の最大公約数!解けますか?【京都大学】【数学 入試問題】

問題文全文(内容文):
$n$を自然数とする。3つの整数$n^2+2,n^4+2,n^6+2$の最大公約数$A_n$を求めよ。

京都大過去問
チャプター:

00:04 問題文
00:32 ユークリッドの互除法の復習
01:13 本問題の解答・解説
07:56 次回の問題

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問題文全文(内容文):
$n$を自然数とする。3つの整数$n^2+2,n^4+2,n^6+2$の最大公約数$A_n$を求めよ。

京都大過去問
投稿日:2022.10.22

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$a_1=1,  a_{n+1}=a_n^2+1  (n=1,2,3,\ldots)$
(1)正の整数nが3の倍数のとき、$a_n$は5の倍数となることを示せ。
(2)k,nを正の整数とする。$a_n$が$a_k$の倍数となるための必要十分条件をk,nを
用いて表せ。
(3)$a_{2022}$と$(a_{8091})^2$の最大公約数を求めよ。

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問題文全文(内容文):
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(2)$m,n$を$m \gt n$を満たす自然数とし、$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{5}$とする。$m,n$の値を求めよ。
(3)$m,n$を自然数とし、$a^m=b^n=(ab)^5$とする。bの値をaを用いて表せ。

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