大学入試問題#732「まあ面白い良問！」早稲田大学人間科学部(2022) 級数

大学入試問題#732「まあ面白い良問！」　早稲田大学人間科学部(2022)　級数

問題文全文(内容文)：
自然数

n

に対して、

S_{n} = \int_{e^{n - 1}}^{e^{n}} \frac{\sin (π l o g x)}{x^{2}} d x

とする。

さらに　

T = \sum_{n = 1}^{\infty} S_{n}

とする。

以下の問いに答えよ。
（1）

S_{1}

を求めよ。
（2）

\frac{S_{n + 1}}{S_{n}}

を求めよ。
（3）

T

を求めよ。

出典：2022年早稲田大学人間科学部　入試問題

単元： #関数と極限#数列の極限#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
自然数

n

に対して、

S_{n} = \int_{e^{n - 1}}^{e^{n}} \frac{\sin (π l o g x)}{x^{2}} d x

とする。

さらに　

T = \sum_{n = 1}^{\infty} S_{n}

とする。

以下の問いに答えよ。
（1）

S_{1}

を求めよ。
（2）

\frac{S_{n + 1}}{S_{n}}

を求めよ。
（3）

T

を求めよ。

出典：2022年早稲田大学人間科学部　入試問題

投稿日：2024.02.11

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問題文全文(内容文)：
(1)

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2} (\frac{5}{4})^{n - 1}

(2)

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4^{n} - 3^{n + 1}}{3^{2 n}}

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問題文全文(内容文)：
次のように定義された数列を

{a_{n}}

とする。

a_{1} = r^{2}, a_{2} = 1, 2 a_{n} = (r + 3) a_{n - 1} - (r + 1) a_{n - 2} (n ≧ 3)

このとき、次の各問いに答えよ。
（1）

b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}

とおくとき、

b_{n}

を

n

と

r

を用いて表せ。
（2）

a_{n}

を求めよ。
（3）数列

{a_{n}}

が収束するような

r

の範囲およびそのときの極限値を求めよ。

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問題文全文(内容文)：

lim_{x \to 1} \frac{a x - 1}{x - a}

を求めよ.

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問題文全文(内容文)：
ド・モアブルの定理を用いてオイラーの公式を導く方法を解説していきます.

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{n \to \infty} (\frac{_{3 n} C_{n}}{_{2 n} C_{n}})^{\frac{1}{n}}

の極限値を求めよ。

\int_{0}^{1} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n})

出典：東京工業大学　練習問題

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 大学入試問題#732「まあ面白い良問！」 早稲田大学人間科学部(2022) 級数

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