大学入試問題#8 東京理科大学(2021) 定積分 - 質問解決D.B.(データベース)

大学入試問題#8 東京理科大学(2021) 定積分

問題文全文(内容文):
次の定積分を計算せよ。

$I_0=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle \frac{\sin\ x-\sqrt{ 2 }\ \cos\ x}{\sqrt{ 2 }\ \sin\ x+\cos\ x}\ dx$

$I_1=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle \frac{\sin\ x}{\sqrt{ 2 }\ \sin\ x+\cos\ x}\ dx$

$I_2=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle \frac{\cos\ x}{\sqrt{ 2 }\ \sin\ x+\cos\ x}\ dx$

出典:2021年東京理科大学 入試問題
単元: #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師: ますただ
問題文全文(内容文):
次の定積分を計算せよ。

$I_0=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle \frac{\sin\ x-\sqrt{ 2 }\ \cos\ x}{\sqrt{ 2 }\ \sin\ x+\cos\ x}\ dx$

$I_1=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle \frac{\sin\ x}{\sqrt{ 2 }\ \sin\ x+\cos\ x}\ dx$

$I_2=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle \frac{\cos\ x}{\sqrt{ 2 }\ \sin\ x+\cos\ x}\ dx$

出典:2021年東京理科大学 入試問題
投稿日:2021.09.11

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指導講師: ますただ
問題文全文(内容文):
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^8x\ dx$

出典:2009年山梨大学 医学部
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問題文全文(内容文):
座標空間において,連立不等式
$x^2+y^2\leqq 1$
$|x|\leqq \sin z $
$|y|\leqq \sin z $
$0\leqq z \leqq \dfrac{\pi}{2}$
で定められる立体を$K$とする。
(1)$t$を$0\leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}$を満たす定数として、立体$K$を$z$軸に垂直な平面$z=t$で切ったときの断面積を$S(t)$とする。必要に応じて場合分けをして、$S(t)$を$t$の式で表せ。
(2)立体$K$のうち、2つの平面$z=0$と$z=\dfrac{\pi}{4}$ではさまれた部分の体積$V$を求めよ。
(3) 立体$K$の体積$W$を求めよ。
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問題文全文(内容文):
(1)曲線$y=1+\sin^2 x$と$x$軸、$y$軸、
および直線$x=\pi$で囲まれた図形の面積は
$\frac{\boxed{ア}}{\boxed{イ}}\ \pi$となる。

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指導講師: ますただ
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$\displaystyle \int_{0}^{1}\displaystyle \frac{log(1+2x)}{1+x+x^2}dx$
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単元: #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
(1) $x \gt 0$ のとき、関数 $\displaystyle y = \frac{e^x}{x}$ の極値を求めて、そのグラフの概形をかけ。
(2) 次の等式を満たす正の定数 $a$ を求めよ。
\begin{eqnarray}
\int_a^{2a} \frac{e^x}{x} dx = \int_a^{2a} \frac{e^x}{x^2} dx
\end{eqnarray}
(3) 次の等式を満たす異なる正の整数 $m,n$ が存在しないことを証明せよ。
\begin{eqnarray}
\int_m^{n} \frac{e^x}{x} dx = \int_m^{n} \frac{e^x}{x^2} dx
\end{eqnarray}
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