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静岡大学過去問題
n自然数
(1)$4^{n+1}+5^{2n-1}$は21で割り切れることを証明
(2)次の条件を満たす定数でない多項式f(x)を推定し、その推定が正しいことを証明せよ。
(a)f(4)=21
(b)すべての自然数nに対し$x^{n+1}+(x+1)^{2n-1}$はf(x)で割り切れる。

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$\Large\boxed{3}$ 点Oを原点とするxy平面上の放物線
$y$=$-x^2$+$4x$
を$C$とする。また、放物線$C$上に点A(4,0), P($p$, $-p^2+4p$), Q($q$, $-q^2+4q$)をとる。ただし、0＜$p$＜$q$＜4　とする。
(1)放物線$C$の接線のうち、直線APと傾きが等しいものを$l$とする。接線$l$の方程式を求めよ。
(2)点Pを固定する。点Qが$p$＜$q$＜4　を満たしながら動くとき、四角形OAQPの面積の最大値を$p$を用いて表せ。
(3)(2)で求めた四角形OAQPの面積の最大値を$S(p)$とおく。0＜$p$＜4　のとき、
関数$S(p)$の最大値を求めよ。

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$\mathrm{O}$を原点とする$\mathrm{xyz} $平面において、3点 $\mathrm{A(1,\dfrac{2}{\sqrt{3}}, 0), B(-1, \dfrac{2}{\sqrt{3}}, 0), C(0, 0, 2)}$ の定める平面$\mathrm{ABC}$ 上に$\mathrm{O}$ から垂線$\mathrm{OH}$ を下ろす。平面$\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{H}$ を中心とする半径$\mathrm{1}$の円板(内部を含む)$\mathrm{D}$ を考える。
(1)平面$\mathrm{z = t}$ が$\mathrm{D}$と交わるような$\mathrm{t}$の範囲を求めよ。
(2)$\mathrm{D}$を$\mathrm{z}$軸の周りに$\mathrm{1}$回転させるとき、$\mathrm{D}$が通過してできる立体$\mathrm{K}$の体積$\mathrm{V}$を求めよ。

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$-\dfrac{5}{12}\pi \leqq x \leqq -\dfrac{\pi}{3}$のとき
$y=\tan(x+\dfrac23\pi)-\tan(x+\dfrac\pi6)+\cos(x+\dfrac\pi6)$
の最大値を求めて下さい。

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これを解け.

(1)$C_{\alpha}:Z=\alpha+re^{it} \ (0\leqq t\leqq 2\pi)$
$ \displaystyle \int_{C\alpha}^{} \ \dfrac{1}{(Z-\alpha)^n}\ \alpha_Z$

(2) $C_{\alpha}:Z=1+re^{it} \ (0\leqq t\leqq 2\pi)$
$ \displaystyle \int_{C}^{} \ \dfrac{2}{Z-1}\ \alpha_Z$