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-(7)
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2(1+2^2+3^2+\cdots +n^2{)}^4}{(1+2^5+3^5+\cdots +n^5{)}^2}}$

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次の無限級数の和を求めよう。
${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\cos n\pi }$

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数学$\text{III}$平均値の定理(4)
微分可能な関数$f(x)$が$f(1)=1, 0<f^{\prime }(x)\leqq \frac{1}{2}$を満たしている。
$a_{n+1}=f(a_n)$で定義される数列$\left\{a_n\right\}$について、
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=1$であることを示せ。

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$3S_n=a_n+6n+1$のとき${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n}$を求めよ。

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$\boxed{{\displaystyle 3}}$ 座標平面上の曲線y=$\frac{1}{x^2}$ (x $\ne$ 0)をCとする。$a_1$を正の実数とし、点$A_1$$(a_1,\frac{1}{a_1^2})$におけるCの接線を$l_1$とする。$l_1$とCの交点で$A_1$と異なるものを$A_2$$(a_2,\frac{1}{a_2^2})$とする。次に点$A_2$におけるCの接線を$l_2$とCの交点で$A_2$と異なるものを$A_3$$(a_3,\frac{1}{a_3^2})$とする。以下、同様にしてn=3,4,5,...に対して、$A_n$$(a_n,\frac{1}{a_n^2})$におけるCの接線を$l_n$とし、$l_n$とCの交点で$A_n$と異なるものを$A_{n+1}$$(a_{n+1},\frac{1}{a_{n+1}^2})$とする。
(1)$\frac{a_2}{a_1}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{あ}}}$であり、$\frac{a_3}{a_1}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{い}}}$である。
(2)$a_n$を$a_1$で表すと$a_n$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{う}}}$である。無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$の和をTを$a_1$を用いて表すとT=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{え}}}$である。
(3)$a_1$を正の実数すべてにわたって動かすとき、三角形$A_1{A}_2{A}_3$の重心が描く軌跡の方程式をy=f(x)の形で求めるとf(x)=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{お}}}$となる。
(4)三角形$A_1{A}_2{A}_3$が鋭角三角形になるための条件は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{か}}}$＜$a_1$＜$\boxed{{\displaystyle \mathrm{き}}}$である。
(5)x軸上に2点$A_1^{\prime }$($a_1$, 0), $A_2^{\prime }$($a_2$, 0)をとり、台形$A_1{A}_2{A}_2^{\prime }{A}_1^{\prime }$の面積を$S_1$とする。また、点$A_1$から点$A_3$にいたる曲線Cの部分、および線分$A_3{A}_2$と$A_2{A}_1$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする。このとき、$S_1$：$S_2$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{く}}}$：$\boxed{{\displaystyle \mathrm{け}}}$である。ただし、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{く}}}$と$\boxed{{\displaystyle \mathrm{け}}}$は互いに素な自然数である。

2023慶應義塾大学医学部過去問