【数学B/数列】部分分数分解を使った和の計算問題 - 質問解決D.B.(データベース)

【数学B/数列】部分分数分解を使った和の計算問題

問題文全文(内容文):
次の和を求めよ。
$\displaystyle \frac{1}{1・3}+\displaystyle \frac{1}{3・5}+\displaystyle \frac{1}{5・7}+$
$…+\displaystyle \frac{1}{(2n-1)・(2n+1)}$
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問題文全文(内容文):
次の和を求めよ。
$\displaystyle \frac{1}{1・3}+\displaystyle \frac{1}{3・5}+\displaystyle \frac{1}{5・7}+$
$…+\displaystyle \frac{1}{(2n-1)・(2n+1)}$
投稿日:2022.01.04

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各項は正である数列$a_n$の和を$S_n$とする

$S_n=\frac{1}{2}{a_n}^2+\frac{1}{2}{a_n}-1$

が成り立つとき、一般項$a_n$を求めよ

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問題文全文(内容文):
$3x^2-6x+2=0$の2つの解を$\alpha,\beta$
$A_{n}=(\alpha^{-n}+\beta^{-n})(\alpha+\beta)^n$

(1)
$A_{1},A_{2}$の値を求めよ

(2)
$A_{n}$はすべての自然数$n$について整数であることを示せ

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問題文全文(内容文):
次の和 $S$ を求めよ。
$(1)\, S=1\cdot 1+2\cdot 5+3\cdot 5+\cdots +n\cdot 5^{n-1}$
$(2)\, S=1+4x+7x^2+\cdots+(3n-2)x^{n-1}$
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問題文全文(内容文):
$a_2=3$
$2S_n=(n+1)a_n-(n-1)$
{$a_n$}の一般項を求めよ
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