問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 2}}$　xyz空間において、3点(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)を通る平面${\pi }_1$と3点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)を通る平面${\pi }_2$を考える。$x_0$=1,　$y_0$=2,　$z_0$=-2として、点P${}_0$($x_0$,$y_0$,$z_0$)から始めて、次の手順でP${}_1$($x_1$,$y_1$,$z_1$), P${}_2$($x_2$,$y_2$,$z_2$),... を決める。
・$k$が偶数のとき、${\pi }_1$上の点で点P${}_k$($x_k$,$y_k$,$z_k$)からの距離が最小となるものをP${}_{k+1}$($x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$)とする。
・$k$が奇数のとき、${\pi }_2$上の点で点P${}_k$($x_k$,$y_k$,$z_k$)からの距離が最小となるものをP${}_{k+1}$($x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$)とする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)${\pi }_2$に直交するベクトルのうち、長さが1で$x$成分が正のもの$n_2$を求めよ。
(2)$x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$をそれぞれ$x_k$,$y_k$,$z_k$を用いて表せ。
(3)${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_k}$,　${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_k}$,　${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{z}_k}$を求めよ。