問題文全文(内容文)：

$\boxed{5}$

$xy$平面上の曲線$C:y=\sqrt[3]{x^2+2}$と考え、

$C$上の$(0,\sqrt[3]{2})$以外の点$P(a,b)$における接線を

$\ell : y = kx +c$と表す。$C$と$\ell$の方程式から

$x$を消去して得られる$y$についての$3$次方程式

$f(y)=0$は$b$を重解としてもつので、もう$1$つの解を

$b'$とする。

ただし、$b'$が$3$重解のときは$b'=b$とみなす。

次の問いに答えよ。

(1)$2b+b'$を$k$のみの分数式で表せ。

(2)$b'$を$b$のみの分数式で表せ。

(3)$C$と$\ell$の共有点で、その$y$座標が$b'$であるものを

$P'(a',b')$とする。

$a$と$b$が有理数ならば、$a'$と$b'$も有理数であることを

示せ。

(4)$b$が奇数$p,q$と負でない整数$r$を用いて

$b=\dfrac{p}{2^r q}$で与えられるとする。

有理数$b'$を奇数$p',q'$と整数$s$を用いて$b'=\dfrac{p'}{2^s q'}$と

表すとき、$s$を$r$の式で表せ。

(5)$P(5,3)$が曲線$C$上の点であることを利用して、

$C$上に$x$座標と$y$座標がともに有理数であるような点が

無数に存在することを示せ。

$2025$年早稲田大学理工学部過去問題

問題文全文(内容文)：
$e=\displaystyle\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$
$\displaystyle\lim_{n \to -\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$を示せ

問題文全文(内容文)：
6⃣
x=sinθ
$y=-log tan \frac{θ}{2}-cosθ$
$θ=\frac{\pi}{3}$における$\frac{dy}{dx^2}$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$x^2-5=\sqrt{x+5}$
実数解を求めよ

問題文全文(内容文)：
$a \geqq 2,f(x)=(x+a)(x+2)$
$f(f(x)) \gt 0$がすべての実数$x$に対して成り立つような$a$の範囲を求めよ

出典：2013年京都大学　過去問