問題文全文(内容文)：
次の関数は \(x=1\) で微分可能であることを証明せよ。
\[
f(x)=
\begin{cases}
x^2 & (x<1)\\
2x-1 & (x\geq 1)
\end{cases}
\]

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$関数$f(x)=\frac{1}{2}(x+\sqrt{2-3x^2})$の定義域は$-\frac{\sqrt{\boxed{\ \ ア\ \ }}}{\boxed{\ \ イ\ \ }} \leqq x \leqq \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }}}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$であり、
$f(x)$は$x=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ オ\ \ }}}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$のとき、
最大値$\frac{\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}}{\boxed{\ \ ク\ \ }}$をとる。曲線$y=f(x)$、

直線$y=2x$およびy軸で囲まれた図形の面積は$\boxed{\ \ ケ\ \ }$となる。

$\boxed{\ \ ケ\ \ }$の解答群
$⓪\frac{\sqrt3}{18}\pi　　①\frac{\sqrt3}{36}\pi　　②\frac{\sqrt3}{72}\pi　　③\frac{1}{6}+\frac{\sqrt3}{36}\pi　　④\frac{1}{24}+\frac{\sqrt3}{36}\pi$
$⑤\frac{5}{24}+\frac{\sqrt3}{36}\pi　　⑥\frac{1}{3}+\frac{\sqrt3}{18}\pi　　⑦\frac{1}{6}+\frac{\sqrt3}{18}\pi　　⑧\frac{1}{8}+\frac{\sqrt3}{18}\pi　　⑨\frac{7}{24}+\frac{\sqrt3}{18}\pi$

問題文全文(内容文)：
関数 $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^4 + 1}}$ ($x \geqq 0$) は $x =$ [い] のとき，極大値 $\frac{\sqrt{\text{[う]}}}{\text{[え]}}$ をとる。また，曲線 $y = f(x)$ 上の $x = \sqrt[\text{[お]}]{\text{[か]}}$ における点は変曲点である。ここで，この変曲点における接線が $x$ 軸および $y$ 軸と交わる点をそれぞれ $\text{A}, \text{B}$ とする。原点を $\text{O}$ とするとき，$\triangle \text{OAB}$ の面積は $\frac{\text{[きく]} \sqrt{\text{[けこ]}}}{\text{[さし]}}$ である。次に，$a$ を正の定数とする。方程式 $\sqrt{x^4 + 1} = ax$ は $a > \sqrt{\text{[す]}}$ のとき，異なる [せ] 個の実数解をもつ。

問題文全文(内容文)：
$y=\displaystyle \frac{1}{x}(x \gt 0)$と$y=- \displaystyle \frac{1}{x}(x \lt 0)$の接線および$x$軸を囲まれる三角形の面積の最大

出典：1975年東京工業大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$　2つの実数$a$,$b$は0＜$b$＜$a$を満たすとする。関数
$f(x)$=$\displaystyle\frac{1}{b}\left(e^{-(a-b)x}-e^{-ax}\right)$
の最大値を$M(a,b)$、最大値をとるときの$x$の値を$X(a,b)$と表す。ここで、$e$は自然対数の底である。
(1)$X(a,b)$を求めよ。
(2)極限$\displaystyle\lim_{b \to +0}X(a,b)$　を求めよ。
(3)極限$\displaystyle\lim_{b \to +0}M(a,b)$　を求めよ。