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1/3 の確率で肝心なものを忘れるAOIさん 坂田アキラの「確率」が面白いほどとける本

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次の問題
問題
表面と裏面が出る確率がそれぞれであるコインを投げる試行を繰り返し、同
じ面が3回連続して出た時点で試行を終了する。n回投げ終えた段階で試行が
終了する確率 $p_n$を求めよ。
に対する次の答案Aについて以下の問いに答えよ。
(1) もし答案Aに誤りがあれば誤りを指摘し、その理由を述べよ。ただし、すでに
指摘してある誤った結論から論理的に導き出した結論を誤りとして指摘する必要
はない。誤りがないときは「誤りなし」と答えよ。
(2) 答案Aで導かれたp_nと正解の$p_n$とで値が異なるとき、値が異なる最小のnを
求め、そのnに対する正解のpnの値を答えよ。そのようなnがないときは
「すべて一致する」と答えよ。

答案A
自然数nに対して、コインをn回投げ終えた段階で、その後最短で試行が終了するために
必要な回数がk回($k\geqq 0$)である確率を$p_n(k)$とする。このとき、
kは0,1,2のいずれかであるから、確率の総和は
$p_n(0)+p_n(1)+p_n(2)=1$
である。また、$p_n(0)=p_n,p_{n+1}(0)=\frac{1}{2}{p}_n(1),p_{n+2}(0)=\frac{1}{4}{p}_n(2)$であるから漸化式
$p_n+2p_{n+1}+4p_{n+2}=1 (n\geqq 1)$
を得る。ここで$\frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1$なので、$q_n=2^n(p_n-\frac{1}{7})$とすれば
$q_n+q_{n+1}+q_{n+2}=0$
である。よって$n\geqq 4$に対して
$q_n=-q_{n-1}-q_{n-2}=(q_{n-2}+q_{n-3})-q_{n-2}=q_{n-3}$
が成立する。以上より、
$Q(x)=\{\begin{array}{}{q}_1 (n\mathrm{を}3\mathrm{で}\mathrm{割}\mathrm{っ}\mathrm{た}\mathrm{時}\mathrm{の}\mathrm{余}\mathrm{り}\mathrm{が}1\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き})\\ q_2 (n\mathrm{を}3\mathrm{で}\mathrm{割}\mathrm{っ}\mathrm{た}\mathrm{時}\mathrm{の}\mathrm{余}\mathrm{り}\mathrm{が}2\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き})\\ q_3 (n\mathrm{が}3\mathrm{で}\mathrm{割}\mathrm{り}\mathrm{切}\mathrm{れ}\mathrm{る}\mathrm{と}\mathrm{き})\end{array}$
とすれば求める確率は
$p_n=\frac{q_n}{2^n}+\frac{1}{7}=\frac{Q(n)}{2^n}+\frac{1}{7} (n\geqq 4)$
である。また最初の2項は定義より$p_1=p_2=0$であり$p_n$の漸化式で$n=1$とすれば
$p_1+2p_2+4p_3=1$　であるから$p_3=\frac{1}{4}$である。さらに
$q_1=-\frac{2}{7}, q_2=-\frac{4}{7}, q_3=\frac{6}{7}$
である。したがって
$p_1=p_2=0, p_3=\frac{1}{4}, p_n=\frac{Q(n)}{2^n}+\frac{1}{7} (n\geqq 4)$
となる。

2022浜松医科大学医学部過去問

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橋本環奈と浜辺美波とディズニーで会える確率は？

問題文全文(内容文)：
◎5個の数字1，2，3，4，5から異なる3個の数字を使って3桁の整数をつくるとき、次のような整数は何個作れる？
①5の倍数
②奇数
③偶数
④200より大きい数
⑤230より大きい数

問題文全文(内容文)：
1回に1個ずつ同時に入れかえる.
$n$回目に$A$である確率を求めよ.

2021香川大(医)過去問