福田の数学〜慶應義塾大学2021年看護医療学部第2問(2)〜外接する円に接する直線 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜慶應義塾大学2021年看護医療学部第2問(2)〜外接する円に接する直線

問題文全文(内容文):
2(2)円x2+y2=1をCと表す。p>1とし、点P(0,p)を通るCの2つの接線
l1,l2とする。l1,l2の方程式は

y=    , y=    
であり、l1,l2が直交するのはp=    のときである。
p=    のとき、l1,l2を接線に持ち、かつCに外接する円の中で中心が
y軸上にある2つの円の半径は    および    である。

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問
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問題文全文(内容文):
2(2)円x2+y2=1をCと表す。p>1とし、点P(0,p)を通るCの2つの接線
l1,l2とする。l1,l2の方程式は

y=    , y=    
であり、l1,l2が直交するのはp=    のときである。
p=    のとき、l1,l2を接線に持ち、かつCに外接する円の中で中心が
y軸上にある2つの円の半径は    および    である。

2021慶應義塾大学看護医療学部過去問
投稿日:2021.08.07

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問題文全文(内容文):
第4問 
(1)54=62524で割った時の余りは1に等しい。このことを用いると、不定方程式

54x24y=1 
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのはx=    ,y=    であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
x=    , y=    である。

(2)次に、625255で割った時の余りと、25で割った時の余りについて考えてみよう。
まず、
6252=5
であり、またm=    とすると、6252=2 m2+2 m+1である。
これらにより、625255で割った時の余りと、25で割った時の余りがわかる。

(3)(2)の考察は、不定方程式
55x25y=1 
の整数解を調べるために利用できる。x,yを②の整数解とする。
55x55の倍数であり、25で割った時の余りは1となる。よって(2)により、
55x625255でも25でも割り切れる。5525は互いに素なので
55x62525525の倍数である。このことから、②の整数解のうち、
xが3桁の正の整数で最小になるのは
x=    , y=    
であることが分かる。

(4)11424で割った時の余りは1に等しい。不定方程式
115x25y=1
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
x=    , y=     である。

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