問題文全文(内容文)：
さいころを3回続けて投げるとき、1回目、2回目、3回目に出た目の数をそれぞれa,b,cとする。
2次方程式$ax^2+bx+c=0$について2つの解が-2、-3となる確率を求めよ
2024立教新座高等学校

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 次の問題\hspace{310pt}\\
問題\\
表面と裏面が出る確率がそれぞれであるコインを投げる試行を繰り返し、同\\
じ面が3回連続して出た時点で試行を終了する。n回投げ終えた段階で試行が\\
終了する確率 p_nを求めよ。\\
に対する次の答案Aについて以下の問いに答えよ。\\
(1) もし答案Aに誤りがあれば誤りを指摘し、その理由を述べよ。ただし、すでに\\
指摘してある誤った結論から論理的に導き出した結論を誤りとして指摘する必要\\
はない。誤りがないときは「誤りなし」と答えよ。\\
(2) 答案Aで導かれたp_nと正解のp_nとで値が異なるとき、値が異なる最小のnを\\
求め、そのnに対する正解のpnの値を答えよ。そのようなnがないときは\\
「すべて一致する」と答えよ。\\
\\
答案A\\
自然数nに対して、コインをn回投げ終えた段階で、その後最短で試行が終了するために\\
必要な回数がk回(k \geqq 0)である確率をp_n(k)とする。このとき、\\
kは0,1,2のいずれかであるから、確率の総和は\\
p_n(0)+p_n(1)+p_n(2)=1\\
である。また、p_n(0)=p_n,p_{n+1}(0)=\frac{1}{2}p_n(1),p_{n+2}(0)=\frac{1}{4}p_n(2)　であるから漸化式\\
p_n+2p_{n+1}+4p_{n+2}=1　(n \geqq 1)\\
を得る。ここで\frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1なので、q_n=2^n(p_n-\frac{1}{7})とすれば\\
q_n+q_{n+1}+q_{n+2}=0\\
である。よってn \geqq 4に対して\\
q_n=-q_{n-1}-q_{n-2}=(q_{n-2}+q_{n-3})-q_{n-2}=q_{n-3}\\
が成立する。以上より、\\
Q(x)=
\left\{
\begin{array}{1}q_1　(nを3で割った時の余りが1のとき)\\
q_2　(nを3で割った時の余りが2のとき)\\
q_3　　　　　　(nが3で割り切れるとき)\\
\end{array}
\right.\\
\\
とすれば求める確率は\\
p_n=\frac{q_n}{2^n}+\frac{1}{7}=\frac{Q(n)}{2^n}+\frac{1}{7}　(n \geqq 4)\\
である。また最初の2項は定義よりp_1=p_2=0でありp_nの漸化式でn=1とすれば\\
p_1+2p_2+4p_3=1　であるからp_3=\frac{1}{4}である。さらに\\
q_1=-\frac{2}{7},　q_2=-\frac{4}{7},　q_3=\frac{6}{7}\\
\\
である。したがって\\
p_1=p_2=0,　p_3=\frac{1}{4},　p_n=\frac{Q(n)}{2^n}+\frac{1}{7}　(n \geqq 4)\\
となる。
\end{eqnarray}

2022浜松医科大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ A, Bの2人が、はじめに、Aは2枚の硬貨を、Bは1枚の硬貨を持っている。
2人は次の操作(P)を繰り返すゲームを行う。
(P)2人は持っている硬貨すべてを同時に投げる。それぞれが投げた硬貨のうち表がでた硬貨の枚数を数え、その枚数が少ない方が相手に1枚の硬貨を渡す。
操作(P)を繰り返し、2人のどちらかが持っている硬貨の枚数が3枚となった時点でこのゲームは終了する。操作(P)をn回繰り返し行ったとき、Aが持っている硬貨の枚数が3枚となってゲームが終了する確率を$p_n$とする。ただし、どの硬貨も1回投げたとき、表の出る確率は$\frac{1}{2}$とする。以下の問いに答えよ。
(1)$p_1$の値を求めよ。
(2)$p_2$の値を求めよ。
(3)$p_3$の値を求めよ。

2023神戸大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{2}}\ 空間ベクトルに対し、次の関係を定める。\hspace{152pt}\\
\overrightarrow{ a }=(a_1,a_2,a_3)と\overrightarrow{ b }=(b_1,b_2,b_3)が、次の(\textrm{i}),(\textrm{ii}),(\textrm{iii})のいずれかを\\
満たしているとき\overrightarrow{ a }は\overrightarrow{ b }より前であるといい、
\overrightarrow{ a }≺ \overrightarrow{ b }と表す。\\
(\textrm{i})a_1 \lt b_1\ \ \ (\textrm{ii})a_1=b_1かつa_2 \lt b_2\ \ \ (\textrm{iii})a_1=b_1かつa_2=b_2かつa_3 \lt b_3\ \ \ \\
\\
空間ベクトルの集合P=\left\{(x,y,z) | \ x,y,zは0以上7以下の整数\right\}の要素を\\
前から順に\overrightarrow{ p_1 },\overrightarrow{ p_2 },\ldots,\overrightarrow{ p_m }とする。ここで、mはPに含まれる要素の総数を表す。\\
つまり、P=\left\{\overrightarrow{ p_1 },\overrightarrow{ p_2 },\ldots,\overrightarrow{ p_m }\right\}であり、\\
\overrightarrow{ p_n }≺ \overrightarrow{ p_{n+1} }(n=1,2,\ldots,m-1)\\
を満たしている。次の各設問に答えよ。\\
(1)\ \overrightarrow{ p_{67} }を求めよ。\\
(2)集合\left\{n\ \ \ | \ \overrightarrow{ p_n }∟(1,0,-2)\right\}の要素のうちで最大のものを求めよ。
\end{eqnarray}

2022早稲田大学商学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$　男子7人、女子5人の12人の中から3人を選んで第1グループを作る。次に、残った人の中から3人を選んで第2グループを作る。
(1)第1グループの男子の数が
0人である確率は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イウ\ \ }}$
1人である確率は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}$
2人である確率は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ キク\ \ }}{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}$
3人である確率は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ サ\ \ }}{\boxed{\ \ シス\ \ }}$
である。

(2)第1グループも第2グループも男子の数が1人である確率は$\frac{\boxed{\ \ セ\ \ }}{\boxed{\ \ ソタ\ \ }}$である。また、第2グループの男子の数が1人である確率は$\frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{\boxed{\ \ ツテ\ \ }}$である。

(3)第2グループの男子の数が1人であるとき、第1グループの男子の数も1人である確率は$\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナニ\ \ }}$である。

2019慶應義塾大学商学部過去問