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$n$ は自然数の定数とする。次の数列の第 $k$ 項 $a_k \, (1 \leqq k \leqq n)$ を, $k$ の式で表せ。
$(2n-1)^2, \, (2n-3)^2, \, (2n-5)^2, \, \dots, \, 25, \, 9, \, 1$
$\sqrt{n}, \, 2\sqrt{n-1}, \, 3\sqrt{n-2}, \, \dots, \, (n-2)\sqrt{3}, \, (n-1)\sqrt{2}, \, n$

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数列$a_0,a_1,a_2,・・・a_n・・・$を次のように定義する。
$a_0=\displaystyle \frac{1}{2},a_{n+1}\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k a_{n-k}n=0,1,2,・・・)$
以下の問いに答えよ。
（1）$a_1,a_2,a_3$を求めよ。
（2）一般項$a_n$を求めよ。
（3）$b_n=\displaystyle \sum_{k=0}^n\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}a_ka_{n-k}(n=0,1,2,・・・)$を求めよ。

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次の問いに答えよ。
（1）
初項が$3$、公差が$2$である等差数列の初項から第$10$項までの和。

（2）
$-2,1,4,7,10…$の初項から第$n$項までの和。

（3）
等差数列$-1,2,5,8,11,…,50$の和。

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群数列の解き方解説動画です

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階差数列の一般項の求め方について解説します。