問題文全文(内容文)：
${\log }_{10}2$=0.3010,${\log }_{10}3$=0.4771とする。
$2^{50}$は何桁の整数か？

問題文全文(内容文)：
(1)$n\in Z+$

$g(x):=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\cos (\pi x)+1}{2}}(|x|\le 1)\\ 0(|x|>1)\end{array}\end{array}$

$f(x):$連続であり,$p,q\in R$

$|x|\le {\displaystyle \frac{1}{n}}$でつねに$p\le f(x)\le q$
$p\le n{\displaystyle \frac{{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}g(nx)f(x)dx\le q}}{I}}$を示せ.

(2)$ｈ(x)=:\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\sin (\pi x)(|x|\le 1)\\ 0(|x|>1)\end{array}\end{array}$

次の極限を求めよ.

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}h(nx)\log (1+e^{x+1})dx}}$

(1)$g(x)=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\cos (\pi x)+1}{2}}(|x|\le 1)\\ 0(|x|>1)\end{array}\end{array}$

$p\le n{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}g(nx)f(x)dx\le q}$

2015東大過去問

問題文全文(内容文)：
第一問
[ 1 ] 三角関数の値の大小関係について考えよう。
(1) $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき$\sin x\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}\sin 2x$であり、$x=\frac{2}{3}\pi$のとき$\sin x\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}}\sin 2x$である。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}$, $\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪＜　①=　②＞
(2) $\sin x$と$\sin 2x$の値の大小関係を詳しく調べよう。
$\sin 2x$-$\sin x$=$\sin 2x(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\cos x-\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}})$
であるから、$\sin 2x$-$\sin x$＞0が成り立つことは
「$\sin x$＞0かつ $\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\cos x-\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}>0$」... ①
「$\sin x$＜0かつ $\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\cos x-\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}<0$」... ②
が成り立つことと同値である。$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき、①が成り立つようなxの値の範囲は
$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$
であり、②が成り立つようなxの値の範囲は
$\pi <x<{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}\pi }$
である。よって、$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき、$\sin 2x>\sin x$が成り立つようなxの値の範囲は
$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}, \pi <x<{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}\pi }}$
である。
(3)$\sin 3x$と$\sin 4x$の値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
$\sin (\alpha +\beta )$-$\sin (\alpha -\beta )$=$2\cos \alpha \sin \beta$...③
が得られる。$\alpha +\beta =4x$, $\alpha -\beta =3x$を満たす$\alpha$, $\beta$に対して③を用いることにより、$\sin 4x-\sin 3x>0$が成り立つことは
「$\cos \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}>0$ かつ $\sin \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}>0$」...④
または
「$\cos \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}<0$ かつ $\sin \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}<0$」...⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。
$0\leqq x\leqq \pi$のとき、④,⑤により、$\sin 4x$＞$\sin 3x$が成り立つようなxの値の範囲は
$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$, ${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}\pi <x<\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}\pi }$
である。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$,　$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪0　①x　②2x　③3x
④4x　⑤5x　⑥6x　⑦$\frac{x}{2}$　
⑧$\frac{3}{2}x$　⑨$\frac{5}{2}x$　ⓐ$\frac{7}{2}x$　ⓑ$\frac{9}{2}x$
(4)(2), (3)の考察から、$0\leqq x\leqq \pi$のとき、$\sin 3x>\sin 4x>\sin 2x$が成り立つようなxの値の範囲は
${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$ $<$ ${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}$,　${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}\pi <x<\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}}\pi }$
であることがわかる。
[ 2 ]
(1)$a>0$,　$a\ne 1$,　$b>0$のとき、${\log }_{a}b=x$とおくと、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}}$が成り立つ。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}}$の解答群
⓪$x^a=b$　①$x^b=a$　②$a^x=b$
③$b^x=a$　④$a^b=x$　⑤$b^a=x$
(2)様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう。
(i)${\log }_{5}25=\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}$,　${\log }_{9}27={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}}$であり、どちらも有理数である。
(ii)${\log }_{2}3$が有理数と無理数のどちらかであるかを考えよう。
${\log }_{2}3$が有理数であると仮定すると、${\log }_{2}3$＞0であるので、二つの自然数p, qを用いて${\log }_{2}3={\displaystyle \frac{p}{q}}$と表すことができる。このとき、(1)により${\log }_{2}3={\displaystyle \frac{p}{q}}$は$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}}}$と変形できる。いま、2は偶数であり3は奇数であるので、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}}}$を満たす自然数p, qは存在しない。
したがって、${\log }_{2}3$は無理数であることがわかる。
(iii)a, bを2以上の自然数とするとき、(ii)と同様に考えると、「$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}}}$ならば${\log }_{a}b$は常に無理数である」ことがわかる。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}}}$の解答群
⓪aが偶数　①bが偶数　②aが奇数　
③bが奇数　④aとbがともに偶数、またはaとbがともに奇数　⑤aとbのいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数

2023共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
${2023}^{2024}$と${2024}^{2023}$の大小を比較してください。

問題文全文(内容文)：
$n={14}^{100}$最高位の数を$\alpha$とする.
(a)$n$の桁数
(b)$a$の値
(c)$a\times n$を15で割った余り

2022昭和大過去問