福田の数学〜明治大学2024理工学部第1問(3)〜x軸まわりとy軸まわりの回転体の体積 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜明治大学2024理工学部第1問(3)〜x軸まわりとy軸まわりの回転体の体積

問題文全文(内容文):
座標平面上の曲線 $y=e^x$ を $C$ とする。
(a) 曲線 $C$ と $x$ 軸および $2$ 直線 $x=0,x=\log 2$ で囲まれた部分を、 $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積は $\displaystyle \frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}\pi$ である。
(b) 曲線 $C$ と $y$ 軸および直線 $y=e^3$ で囲まれた部分を、 $y$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積は $(\fbox{ツ}e^3-\fbox{テ})\pi$ である。

ただし、 $\log x$ は $x$ の自然対数を表し、 $e$ は自然対数の底である。
単元: #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師: JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文):
座標平面上の曲線 $y=e^x$ を $C$ とする。
(a) 曲線 $C$ と $x$ 軸および $2$ 直線 $x=0,x=\log 2$ で囲まれた部分を、 $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積は $\displaystyle \frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}\pi$ である。
(b) 曲線 $C$ と $y$ 軸および直線 $y=e^3$ で囲まれた部分を、 $y$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積は $(\fbox{ツ}e^3-\fbox{テ})\pi$ である。

ただし、 $\log x$ は $x$ の自然対数を表し、 $e$ は自然対数の底である。
投稿日:2024.09.08

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問題文全文(内容文):
$\displaystyle \int_{0}^{log\ 7}(\displaystyle \frac{e^x}{1+e^x})^3dx$を計算せよ。

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問題文全文(内容文):
$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{dx}{(x^3+1)^2}$
$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{dx}{x^3+1}=\displaystyle \frac{\sqrt{ 3 }}{9}\pi+\displaystyle \frac{1}{3}log\ 2$

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問題文全文(内容文):
$\displaystyle \int\ 2(x-1)e^{-x}\cos\ x\ dx$
$\displaystyle \int\ e^{-x}\cos\ x\ dx=\displaystyle \frac{e^{-x}}{2}(\sin\ x-\cos\ x)+c$
$\displaystyle \int\ e^{-x}\sin\ x\ dx=-\displaystyle \frac{e^{-x}}{2}(\sin\ x+\cos\ x)+c$

$c$は積分定数

出典:広島大学
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