大学入試問題#358「チャートの例題に載ってもいいのかな？」青山学院大学(2010) #定積分 #極限

大学入試問題#358「チャートの例題に載ってもいいのかな？」　青山学院大学(2010)　#定積分　#極限

問題文全文(内容文)：

lim_{a \to \infty} \int_{1}^{0} (\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x}} - 1) d x

出典：2010年青山学院大学　入試問題

チャプター：

00:00 問題紹介
00:13 本編スタート
04:49 作成した問題①
05:00 作成した問題②
05:09 エンディング（楽曲提供：兄いえてぃさん）

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#青山学院大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{a \to \infty} \int_{1}^{0} (\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x}} - 1) d x

出典：2010年青山学院大学　入試問題

投稿日：2022.11.05

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問題文全文(内容文)：

数 学 III

　色々な極限(8)

lim_{n \to \infty} x^{2 - 5 α} (0 < α < 1)

　を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

　正の数列

x_{1}

x_{2}

x_{3}

,...,

x_{n}

,... は以下を満たすとする。

x_{1}

=8,　

x_{n + 1}

\sqrt{1 + x_{n}}

　(

n

=1,2,3,...)
このとき、次の問いに答えよ。
(1)

x_{2}

x_{3}

x_{4}

をそれぞれ求めよ。
(2)すべての

n

≧1について(

x_{n + 1}

α

)(

x_{n + 1}

α

x_{n}

α

　となる定数

α

で、
正であるものを求めよ。
(3)

α

を(2)で求めたものとする。すべての

n

≧1について

x_{n}

＞

α

であることを

n

に関する数学的帰納法で示せ。
(4)極限値

lim_{n \to \infty} x_{n}

を求めよ。

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問題文全文(内容文)：
関数f(x)は区間

x ≧ 0

において連続な増加関数で

f (0) = 1

を満たすとする。
ただしf(x)が区間

x ≧ 0

における増加関数であるとは、区間内の任意の実数

x_{1}, x_{2}

に対し

x_{1} < x_{2}

ならば

f (x_{1}) < f (x_{2})

が成り立つ時をいう。以下、nは正の整数とする。
(1)

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f (x)}{2 - x} d x = \infty

　を示せ。
(2)区間

y > 2

において関数

F_{n} (y)

を

F_{n} (y) = \int_{2 + \frac{1}{n}}^{y} \frac{f (x)}{2 - x} d x

と定めるとき、

lim_{y \to \infty} F_{n} (y) = \infty

を示せ。また

2 + \frac{1}{n}

より大きい実数

a_{n}

で

\int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f (x)}{2 - x} d x + \int_{2 + \frac{1}{n}}^{a_{n}} \frac{f (x)}{2 - x} d x = 0

を満たすものがただ1つ存在することを示せ。
(3)(2)の

a_{n}

について、不等式

a_{n} < 4

がすべてのnに対して成り立つことを示せ。

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
（1）

e^{t} > \frac{t^{2}}{2} (t > 0)

を示せ

（2）

lim_{x \to \infty} \frac{l o g (x + 1)}{x + 1}

出典：2018年鹿児島大学　入試問題

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問題文全文(内容文)：

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出典：2016年防衛医科大学　入試問題

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