【行列ができる!】証明:三角関数の加法定理~全国入試問題解法 - 質問解決D.B.(データベース)

【行列ができる!】証明:三角関数の加法定理~全国入試問題解法

問題文全文(内容文):
三角関数における加法定理の証明
【回転変換の解説付き!】

sin(a±β)=sinacosβ±cosasinβ
cos(a±β)=cosacosβsinasinβ
単元: #数Ⅱ#三角関数#加法定理とその応用#数学(高校生)
指導講師: 高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文):
三角関数における加法定理の証明
【回転変換の解説付き!】

sin(a±β)=sinacosβ±cosasinβ
cos(a±β)=cosacosβsinasinβ
投稿日:2021.05.16

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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
4 以下の文章を読んで後の問いに答えよ。
三角関数cosx, sinxについては加法定理が成立するが、逆に加法定理を満たす関数はどのようなものがあるだろうか。実数全体を定義域とする実数値関数f(x), g(x)が以下の条件を満たすとする。
(A)すべてのx, yについてf(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)
(B)すべてのx, yについてg(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)
(C)f(0)0
(D)f(x), g(x)はx=0で微分可能でf(0)=0, g(0)=1
条件(A), (B), (C)からf(0)=1, g(0)=0 がわかる。以上のことからf(x), g(x)はすべてのxの値で微分可能で、f(x)=g(x), g(x)=f(x)が成立することが示される。上のことから{f(x)+ig(x)}(cosxisinx)=1 であることが、実部と虚部を調べることによりわかる。ただしiは虚数単位である。よって条件(A), (B), (C), (D)を満たす関数は三角関数f(x)=cosx, g(x)=sinxであることが示される。
さらに、a, bを実数でb≠0とする。このとき条件(D)をより一般的な(D)', f(x), g(x)はx=0で微分可能でf(0)=a, g(0)=b
におきかえて、条件(A), (B), (C), (D)'を満たすf(x), g(x)はどのような関数になるか考えてみる。この場合でも、条件(A), (B), (C)からf(0)=1, g(0)=0が上と同様にわかる。ここで
p(x)=eabxf(xb), q(x)=eabxg(xb)
とおくと、条件(A), (B), (C), (D)において、f(x)p(x)に、g(x)q(x)におきかえた条件が満たされる。すると前半の議論により、p(x), q(x)がまず求まり、このことを用いるとf(x)=    , g(x)=    が得られる。
(1)下線部①について、f(0)=1, g(0)=0であることを示せ。
(2)下線部②について、f(x)がすべてのxの値で微分可能な関数であり、
f(x)=g(x)となることを示せ。
(3)下線部③について、下線部①、下線部②の事実を用いることにより、
{f(x)+ig(x)}(cosxisinx)=1 となることを示せ。
(4)下線部④について、条件(B), (D)において、f(x)p(x)に、g(x)q(x)におきかえた条件が満たされることを示せ。つまりp(x)q(x)が、
(B)すべてのx, yについて、q(x+y)=p(x)q(y)+q(x)p(y)
(D)p(x), q(x)はx=0 で微分可能でp(0)=0, q(0)=1
を満たすことを示せ。また空欄    ,     に入る関数を求めよ。

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