【行列ができる!】証明:三角関数の加法定理~全国入試問題解法 - 質問解決D.B.(データベース)

【行列ができる!】証明:三角関数の加法定理~全国入試問題解法

問題文全文(内容文):
三角関数における加法定理の証明
【回転変換の解説付き!】

$\sin (a \pmβ)=\sin a \cos β \pm \cos a \sin β$
$\cos (a \pmβ)= \cos a \cos β \mp \sin a \sinβ$
単元: #数Ⅱ#三角関数#加法定理とその応用#数学(高校生)
指導講師: 高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文):
三角関数における加法定理の証明
【回転変換の解説付き!】

$\sin (a \pmβ)=\sin a \cos β \pm \cos a \sin β$
$\cos (a \pmβ)= \cos a \cos β \mp \sin a \sinβ$
投稿日:2021.05.16

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(1) 1ラジアンとは、㋐のことである。
  ㋐に当てはまるものを、次の⓪~③のうちから一つ選べ。

  ⓪半径が1、面積が1の扇形の中心角の大きさ
  ①半径がx、面積が1の扇形の中心角の大きさ
  ②半径が1、張の長さが1の扇形の中心角の大きさ
  ③半径がx、弧の長さが1の扇形の中心角の大きさ


(2) 144°を弧度で表すと$\displaystyle \frac{㋑}{㋒}$xラジアンである。
  また、$\displaystyle \frac{23}{12}$xラジアンを度で表すと[エオカ]である。


(3) $\displaystyle \frac{x}{2}$≦θ≦xの範囲で2sin(θ+$\displaystyle \frac{π}{5}$)-2cos(θ+$\displaystyle \frac{π}{30}$=1を満たすθの値を求めよう。
  x=θ+$\displaystyle \frac{π}{5}$とおくと、①は2sin x-2cos(x-$\displaystyle \frac{π}{㋖}$=1と表せる。
  加法定理を用いると、この式はsin x-$\sqrt{ ㋗ }$cos x=1となる。

  さらに、三角関数の合成を用いるとsin(x-$\displaystyle \frac{π}{㋘}$)=$\displaystyle \frac{1}{㋙}$と変形できる。
  x=θ+$\displaystyle \frac{π}{5}$、$\displaystyle \frac{π}{2}$≦θ≦πだから、θ=$\displaystyle \frac{㋚㋛}{㋜㋝}$πである。
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