福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題070〜筑波大学2017年度理系第５問〜格子点の個数とガウス記号と区分求積

問題文全文(内容文)：

5

xy平面において、x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。また、実数aに対して、a以下の最大の整数を[a]で表す。記号[ ]をガウス記号という。
以下の問いではNを自然数とする。
(1) nを0

≦

≦

Nを満たす整数とする。点(n, 0)と点(n,　N

\sin (\frac{π x}{2 N})

)を結ぶ線分上にある格子点の個数をガウス記号を用いて表せ。
(2) 直線y=xと、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域(境界を含む)にある格子点の個数をA(N)とおく。このときA(N)を求めよ。
(3) 曲線y=N

\sin (\frac{π x}{2 N})

≦

≦

N)と、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域(境界を含む)にある格子点の個数をB(N)とおく。(2)のA(N)に対して

lim_{N \to \infty} \frac{B (N)}{A (N)}

を求めよ。

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問題文全文(内容文)：

5

≦

≦

Nを満たす整数とする。点(n, 0)と点(n,　N

\sin (\frac{π x}{2 N})

\sin (\frac{π x}{2 N})

≦

≦

N)と、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域(境界を含む)にある格子点の個数をB(N)とおく。(2)のA(N)に対して

lim_{N \to \infty} \frac{B (N)}{A (N)}

を求めよ。

2017筑波大学理系過去問

投稿日：2023.01.24

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[\frac{1}{a_{n}}]

は初項

\frac{1}{a}

公差

d

の等差数列

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} a_{n + 1}

を求めよ.

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問題文全文(内容文)：
次の漸化式を解け。(すべて

a_{1} = 1

とする)
①

a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{4 a_{n} - 1}

②

a_{n + 1} = 2 \sqrt{a_{n}}

③

a_{n + 1} = 2 (n + 1) a_{n}

④

a_{n + 1} = \frac{4 a_{n} + 8}{a_{n} + 6}

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0から

10^{n}

までに現れる各桁の数字の総和を求めてください。(

10^{n}

も含む)

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4

n

を正の整数とする。2つの整数

a_{n}

b_{n}

を条件

(1 + \sqrt{2})^{n}

a_{n}

b_{n} \sqrt{2}

により定める。ここで

\sqrt{2}

は無理数なので、このような整数の組(

a_{n}

b_{n}

)はただ1つに定まる。
(1)

a_{n + 1}

b_{n + 1}

を

a_{n}

b_{n}

を用いてそれぞれ表せ。さらに

b_{4}

b_{5}

b_{6}

の値をそれぞれ求めよ。
(2)等式

(1 - \sqrt{2})^{n}

a_{n}

－

b_{n} \sqrt{2}

が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。
(3)

n

≧2 のとき、

b_{n + 1} b_{n - 1}

－

b_{n}^{2}

を求めよ。
(4)

p b_{6}

－

q b_{5}

=1, 0≦

p

≦100, 0≦

q

≦100 をすべて満たす整数

p

q

の組(

p

q

)を1組求めよ。

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