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関数 $y=x^3+3ax^2+3bx+c$ は $x=1$ で極小となり、点 $(0,\ 3)$ はそのグラフの変曲点である。定数 $a,\ b,\ c$ の値を求めよ。

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数Ⅲ(速度と道のり①・直線運動編)

ポイント
数直線上を運動する点Pの速度$v$が時刻$t$の関数$v=f(t)$で表されるとき、$t=a$から$t=b$までのPの位置の変化$S$、Pの道のり$l$は

位置の変化$S=$ ①
道のり$l=$ ➁

Q
$x$軸上を運動する点の、時刻$t$における位置を$f(t)$、速度を$v(t)$とすると、$v(t)=4t-t^2$と表されるという。
$f(1)=5$のとき、次の問いに答えよ。
③時刻$t$における位置$f(t)$を求めよ。
④$t=2$から$t=5$までに点が動いた道のりを求めよ。

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数学$\textrm{III}$平均値の定理(4)
微分可能な関数$f(x)$が$f(1)=1,　0 \lt f'(x) \leqq \frac{1}{2}$を満たしている。
$a_{n+1}=f(a_n)$で定義される数列$\left\{a_n\right\}$について、
$\lim_{n \to \infty}a_n=1$であることを示せ。

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数Ⅲ(速度と加速度➁・平面上の点の運動編)

①座標平面上を運動する点$P(x,y)$の時刻$t$における座標が$x=e^t\cos t$、$y=e^t\sin t$であるとき、
点$P$の時刻$t$における速さ$\vec{v}$と加速度$\vec{a}$の大きさをそれぞれ求めよ

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数Ⅲ(関数の増減)
Q.次の関数の増減を調べよ

①$f(x)=-3x^4+4x^3+12x^2$

➁$f(x)=x\log x$