福田のおもしろ数学573〜4次方程式の解と係数の関係 - 質問解決D.B.(データベース)

福田のおもしろ数学573〜4次方程式の解と係数の関係

問題文全文(内容文):

$a,b,c,d$は実数であり$4$次方程式

$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$

のすべての解が正の実数であるとき

$(b-a-c)^2 \geqq kd$

が常に成り立つ最大の$k$を求めよ。

また等号が成り立つのはどんなときか?
     
単元: #数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
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問題文全文(内容文):

$a,b,c,d$は実数であり$4$次方程式

$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$

のすべての解が正の実数であるとき

$(b-a-c)^2 \geqq kd$

が常に成り立つ最大の$k$を求めよ。

また等号が成り立つのはどんなときか?
     
投稿日:2025.07.28

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$ \alpha=\dfrac{2}{7}\pi$とする.
(1)$ \cos 4\alpha-\cos 3\alpha$を示せ.
(2)$ f(x)=8x^3+4x^2-4x-1,f(\cos \alpha)=0$を示せ.
(3)$ \cos\dfrac{2}{7}\pi$は無理数であることを示せ.

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次の等式を満たす点$z$はどのような図形をえがくか.

①$\vert z-3i \vert =2$

②$\vert z+5-2i \vert =4$

③$\vert z-3 \vert=\vert z+1-i \vert$

④$\vert z+4i \vert =2\vert z+i \vert $
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問題文全文(内容文):
複素数平面上の原点$O$と異なる2点$A,B$の表す複素数を
それぞれ$\alpha,\beta$とする.
等式$\alpha ^ 2 - \alpha\beta + \beta ^ 2 = 0$が成り立つとき,
次の問いに答えよ.

①複素数$\dfrac{\beta}{\alpha}$を求めよ.

②$△OAB$はどのような三角形か.
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