剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式
剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式
高校数学：数学検定準1級2次：問題6 3次方程式の解と係数の関係
単元：
#数Ⅱ#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の２つの３次方程式
x³＋10x²＋ax＋14＝0
x³＋2x²＋bx－2＝0
はそれぞれ異なる３個の解をもちますが、そのうちの２個は共通な解です。このと き、定数a,bの値および共通な２個の解を求めなさい。
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次の２つの３次方程式
x³＋10x²＋ax＋14＝0
x³＋2x²＋bx－2＝0
はそれぞれ異なる３個の解をもちますが、そのうちの２個は共通な解です。このと き、定数a,bの値および共通な２個の解を求めなさい。
整式の剰余
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$x^{2024}+ax^6+bx^4+cx+2\ $が
$x^4+x^2+1$で割り切れるような整数a,b,cを求めよ
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$x^{2024}+ax^6+bx^4+cx+2\ $が
$x^4+x^2+1$で割り切れるような整数a,b,cを求めよ
バングラデシュ数学オリンピック
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x+y=1 \\
x^5+y^5=31
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
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$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x+y=1 \\
x^5+y^5=31
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
バングラデシュ数学オリンピック
単元：
#数Ⅱ#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学オリンピック#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$
\begin{cases}
x+y = 1 \\
x^5+y^5 = 31
\end{cases}
$
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$
\begin{cases}
x+y = 1 \\
x^5+y^5 = 31
\end{cases}
$
整式の剰余 落とし穴注意！
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$x^{2024}$を$(x^4-x^2+1)^2$
で割ったあまり
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$x^{2024}$を$(x^4-x^2+1)^2$
で割ったあまり
愚直にやるかすっきりやるか・整式の剰余
単元：
#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$
\begin{eqnarray}
&&x^{2022}を(x^2+x+1)^2で割った余り
\end{eqnarray}
$
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$
\begin{eqnarray}
&&x^{2022}を(x^2+x+1)^2で割った余り
\end{eqnarray}
$
４次方程式
単元：
#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
解け
$(6x-1)(3x-1)(2x-1)(x-1)+x^{2}-25 = 0$
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解け
$(6x-1)(3x-1)(2x-1)(x-1)+x^{2}-25 = 0$
福田の数学〜浜松医科大学2023年医学部第1問〜高次方程式の解
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#浜松医科大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
次の条件を満たす係数が整数の多項式 f(x) を考える。
(I) f(0) は4で割り切れない。
(II) 方程式f(x) = 0 は x = 1 で重解をもつ。
(III) 方程式f(x)=x(x-1)(x-2) は異なる整数解をもつ。
このとき、f(4) を36で割ったときの余りを求めよ。
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次の条件を満たす係数が整数の多項式 f(x) を考える。
(I) f(0) は4で割り切れない。
(II) 方程式f(x) = 0 は x = 1 で重解をもつ。
(III) 方程式f(x)=x(x-1)(x-2) は異なる整数解をもつ。
このとき、f(4) を36で割ったときの余りを求めよ。
整数問題が苦手な人は要チェック！絶対に取りたい整数問題【関西医科大学】【数学 入試問題】
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
( 1) (a + 1)(a - 1)(b + 1)(b - 1) - 4ab を因数分解せよ。
( 2) (a + 1)(a - 1)(b + 1)(b - 1) = 4ab を満たす整数a,bの組で、 a < b の条件を満たすものは
？組あり、そのなかでa,bのどちらも正の整数となる組(a,b) は ？である 。
(2023年 関西医科大学)
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( 1) (a + 1)(a - 1)(b + 1)(b - 1) - 4ab を因数分解せよ。
( 2) (a + 1)(a - 1)(b + 1)(b - 1) = 4ab を満たす整数a,bの組で、 a < b の条件を満たすものは
？組あり、そのなかでa,bのどちらも正の整数となる組(a,b) は ？である 。
(2023年 関西医科大学)
2023年京大数学！整式の割り算！２通りで解説します【京都大学】【数学 入試問題】
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
整式$x^{2023}-1$を整式$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$で割ったときの余りを求めよ。
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整式$x^{2023}-1$を整式$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$で割ったときの余りを求めよ。
【高校数学】むやみに代入するな！因数定理のちょっとした裏技！ #Shorts
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
因数分解せよ。
$x^3+6x^2-6x+7$
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因数分解せよ。
$x^3+6x^2-6x+7$
(x³+x²+x+1)⁷をx²-x+1で割ったあまりを求めよ
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
(x³+x²+x+1)⁷をx²-x+1で割ったあまりを求めよ
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(x³+x²+x+1)⁷をx²-x+1で割ったあまりを求めよ
北大の良問！解けますか？【数学 入試問題】【北海道大学】
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
$k$を実数の定数とし、$f(x)=x^3-(2k-1)x^2+(k^2-k+1)x-k+1$とする。
(1)$f(k-1)$の値を求めよ。
(2)$\vert k \vert <2$のとき、不等式$f(x)≧0$を解け。
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$k$を実数の定数とし、$f(x)=x^3-(2k-1)x^2+(k^2-k+1)x-k+1$とする。
(1)$f(k-1)$の値を求めよ。
(2)$\vert k \vert <2$のとき、不等式$f(x)≧0$を解け。
福田の数学〜九州大学2022年文系第３問〜高次方程式の解
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ kを実数とし、整式f(x)を\hspace{180pt}\\
f(x)=x^4+6x^3-kx^2+2kx-64\\
で定める。方程式f(x)=0が虚数解をもつとき、以下の問いに答えよ。\\
(1)f(x)はx-2で割り切れることを示せ。\\
(2)方程式f(x)=0は負の実数解をもつことを示せ。\\
(3)方程式f(x)=0の全ての実数解が整数であり、\\
すべての虚数解の実部と虚部が共に整数であるとする。\\
このようなkを全て求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ kを実数とし、整式f(x)を\hspace{180pt}\\
f(x)=x^4+6x^3-kx^2+2kx-64\\
で定める。方程式f(x)=0が虚数解をもつとき、以下の問いに答えよ。\\
(1)f(x)はx-2で割り切れることを示せ。\\
(2)方程式f(x)=0は負の実数解をもつことを示せ。\\
(3)方程式f(x)=0の全ての実数解が整数であり、\\
すべての虚数解の実部と虚部が共に整数であるとする。\\
このようなkを全て求めよ。
\end{eqnarray}
整式の割り算！頻出です【山梨大学 入試問題】【数学】
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#複素数と方程式#式の計算（整式・展開・因数分解）#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#山梨大学#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
整式$x^{2014}$を整式$x^4+x^3+x^2+x+1$で割った余りを求めよ。
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整式$x^{2014}$を整式$x^4+x^3+x^2+x+1$で割った余りを求めよ。
【因数定理】コツがあるんです【数学 解説動画】
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
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数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
次の式を因数分解せよ。
(1)$x^3+4x^2-6x-27$
(2)$x^3+6x^2-6x+7$
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次の式を因数分解せよ。
(1)$x^3+4x^2-6x-27$
(2)$x^3+6x^2-6x+7$
福田の数学〜名古屋大学2022年理系第１問〜割り算の余りと異なる実数解の個数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ a,bを実数とする。 \\
(1)整式x^3を2次式(x-a)^2で割った時の余りを求めよ。 \ \ \\
(2)実数を係数とする2次式f(x)=x^2+\alpha x+\betaで整式x^3を割った時の余りが\\
3x+bとする。bの値に応じて、このようなf(x)が何個あるかを求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ a,bを実数とする。 \\
(1)整式x^3を2次式(x-a)^2で割った時の余りを求めよ。 \ \ \\
(2)実数を係数とする2次式f(x)=x^2+\alpha x+\betaで整式x^3を割った時の余りが\\
3x+bとする。bの値に応じて、このようなf(x)が何個あるかを求めよ。
\end{eqnarray}
福田の入試問題解説〜北海道大学2022年文系第１問〜剰余定理と高次不等式の解
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ kを実数の定数とし、\\
f(x)=x^3-(2k-1)x^2+(k^2-k+1)x-k+1\\
とする。\\
(1)f(k-1)の値を求めよ。\\
(2)|k|\lt 2のとき、不等式f(x) \geqq 0を解け。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ kを実数の定数とし、\\
f(x)=x^3-(2k-1)x^2+(k^2-k+1)x-k+1\\
とする。\\
(1)f(k-1)の値を求めよ。\\
(2)|k|\lt 2のとき、不等式f(x) \geqq 0を解け。
\end{eqnarray}
福田の数学〜慶應義塾大学2022年薬学部第１問(2)〜高次方程式の解
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ (2)a,bは実数とする。xの3次方程式x^3+(a+4)x^2-3(a+4)x+b=0\\
の実数解がx=3のみであるとき、aの値の範囲は\boxed{\ \ エ\ \ }である。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ (2)a,bは実数とする。xの3次方程式x^3+(a+4)x^2-3(a+4)x+b=0\\
の実数解がx=3のみであるとき、aの値の範囲は\boxed{\ \ エ\ \ }である。
\end{eqnarray}
【数Ⅱ】高2生必見!! 2019年8月 第2回 全統高2模試 大問3_式と 証明・複素数と方程式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#全統模試(河合塾)#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
a,bを実数定数とする。xの方程式 x³+(1-a)x²+3x+b=0・・・(＊) はx=-1を解にもつ。
(1)bをaを用いて表せ。
(2)a=1のとき、(＊)を解け。
(3)(＊)が異なる3個の実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(4)(3)のとき、(＊)の-1以外の解をα,βとする。 f(x)=x²+cx+d (c,dは実数の定数) が次の(条件)を満たすとき、c,dの値の組(c,d)を求めよ。 (条件) f(α)=1/β f(β)=1/α f(-1)=-1
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a,bを実数定数とする。xの方程式 x³+(1-a)x²+3x+b=0・・・(＊) はx=-1を解にもつ。
(1)bをaを用いて表せ。
(2)a=1のとき、(＊)を解け。
(3)(＊)が異なる3個の実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(4)(3)のとき、(＊)の-1以外の解をα,βとする。 f(x)=x²+cx+d (c,dは実数の定数) が次の(条件)を満たすとき、c,dの値の組(c,d)を求めよ。 (条件) f(α)=1/β f(β)=1/α f(-1)=-1
【数Ⅱ】高2生必見!! 2020年度 第2回 全統高2模試 大問5_式と証明・複素数と方程式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#全統模試(河合塾)#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
aを実数の定数とする。xの3次式 P(x)=x³+3x²+3x+a があり、P(-2)=0を満たす。
(1)aの値を求めよ。
(2)方程式P(x)=0を解け。
(3)方程式P(x)=0の虚数解のうち、虚部が正であるものをα、虚部が負であるもの をβと表す。また、方程式P(x)=0の実数解をγと表す。さらに、A=α+1、B=β+1、 C=γ+1とする。
(i)A²+B²、A³、B³の3つの値をそれぞれ求めよ。
(ii)nを2020以下の正の整数とする。A^n+B^n+C^n=0を満たすnの個数を求めよ。
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aを実数の定数とする。xの3次式 P(x)=x³+3x²+3x+a があり、P(-2)=0を満たす。
(1)aの値を求めよ。
(2)方程式P(x)=0を解け。
(3)方程式P(x)=0の虚数解のうち、虚部が正であるものをα、虚部が負であるもの をβと表す。また、方程式P(x)=0の実数解をγと表す。さらに、A=α+1、B=β+1、 C=γ+1とする。
(i)A²+B²、A³、B³の3つの値をそれぞれ求めよ。
(ii)nを2020以下の正の整数とする。A^n+B^n+C^n=0を満たすnの個数を求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年看護医療学部第１問(6)〜高次方程式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (6)\ a,bを実数、iを虚数単位とする。4次方程式\\
x^4+(a+2)x^3-(2a+2)x^2+(b+1)x+a^3=0\\
の1つの解が1+iであるとき、\\
a=\boxed{\ \ コ\ \ }, b=\boxed{\ \ サ\ \ }\\
である。また、他の解は\boxed{\ \ シ\ \ }である。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (6)\ a,bを実数、iを虚数単位とする。4次方程式\\
x^4+(a+2)x^3-(2a+2)x^2+(b+1)x+a^3=0\\
の1つの解が1+iであるとき、\\
a=\boxed{\ \ コ\ \ }, b=\boxed{\ \ サ\ \ }\\
である。また、他の解は\boxed{\ \ シ\ \ }である。
\end{eqnarray}
福田の数学〜早稲田大学2021年教育学部第１問〜高次方程式の実数解
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (1)方程式x^4+5x^3-3x^2+4x+2=0 は複素数\frac{1+\sqrt3i}{2}を解に持つ。\\
この方程式の実数解を全て求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (1)方程式x^4+5x^3-3x^2+4x+2=0 は複素数\frac{1+\sqrt3i}{2}を解に持つ。\\
この方程式の実数解を全て求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校２年生012〜高次方程式の作成
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 高次方程式\\
\alpha=\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\ \ \ \ \ \ \ \\\
を解にもつ整数係数でありx^4の係数1の\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
4次方程式を作れ。また、残りの解を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 高次方程式\\
\alpha=\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\ \ \ \ \ \ \ \\\
を解にもつ整数係数でありx^4の係数1の\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
4次方程式を作れ。また、残りの解を求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校２年生第９回〜高次方程式の有理数解
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 高次方程式\\
a,b,cを整数とするとき、3次方程式\\
x^3+ax^2+bx+c=0\\
が有理数解sをもつなら、sは整数である。\\
これを示せ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 高次方程式\\
a,b,cを整数とするとき、3次方程式\\
x^3+ax^2+bx+c=0\\
が有理数解sをもつなら、sは整数である。\\
これを示せ。
\end{eqnarray}
【数Ⅱ】複素数と方程式：剰余の定理 高次式の値を求めたいときは割り算をして次数を下げよ！
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
教材：
#4STEP(4ステップ）数学#4STEP数学Ⅱ＋B（旧課程2021年以前）
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
x=√2-1のとき、x⁴+3x³-5x²-10x+7の値は？
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x=√2-1のとき、x⁴+3x³-5x²-10x+7の値は？
【数Ⅱ】複素数と方程式：剰余の定理って何だろう？基礎から丁寧に解説します！
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
教材：
#4STEP(4ステップ）数学#4STEP数学Ⅱ＋B（旧課程2021年以前）
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
P(x)=x³+ax²+bx+cとする。P(x)がx²-1で割り切れ、x-2で割ると余りが3であるとき、P(x)を求めよ。
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P(x)=x³+ax²+bx+cとする。P(x)がx²-1で割り切れ、x-2で割ると余りが3であるとき、P(x)を求めよ。
【数Ⅱ】複素数と方程式：3次方程式が2重解を持つ条件：x³+6x²+ax+b=0が-1を2重解としてもつとき、定数a,bの値を求めよ。また、残りの解を求めよ。
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
教材：
#ニュースコープ#ニュースコープ数学Ⅱ・B#その他(中高教材)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
x³+6x²+ax+b=0が-1を2重解としてもつとき、定数a,bの値を求めよ。また、残りの解を求めよ。
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x³+6x²+ax+b=0が-1を2重解としてもつとき、定数a,bの値を求めよ。また、残りの解を求めよ。