数学「大学入試良問集」【13−14 確率漸化式の基本】を宇宙一わかりやすく

問題文全文(内容文)：
袋の中に

1 ～ 9

までの異なる数字を１つずつ書いた９枚のカードが入っている。
この中から１枚を取り出し、数字を調べて袋に戻す。
この試行を

n

回繰り返したとき、調べた

n

枚のカードの数字の和が偶数になる確率を

P_{n}

とする。
このとき、次の各問いに答えよ。
（1）

P_{2}, P_{3}

の値を求めよ。
（2）

P_{n + 1}

を

P_{n}

を用いて表せ。
（3）

P_{n}

を

n

を用いて表せ。

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問題文全文(内容文)：
袋の中に

1 ～ 9

までの異なる数字を１つずつ書いた９枚のカードが入っている。
この中から１枚を取り出し、数字を調べて袋に戻す。
この試行を

n

回繰り返したとき、調べた

n

枚のカードの数字の和が偶数になる確率を

P_{n}

とする。
このとき、次の各問いに答えよ。
（1）

P_{2}, P_{3}

の値を求めよ。
（2）

P_{n + 1}

を

P_{n}

を用いて表せ。
（3）

P_{n}

を

n

を用いて表せ。

投稿日：2021.06.12

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問題文全文(内容文)：
次の和を求めよ。

\frac{1}{1 ・ 3} + \frac{1}{3 ・ 5} + \frac{1}{5 ・ 7} +

\dots + \frac{1}{(2 n - 1) ・ (2 n + 1)}

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問題文全文(内容文)：
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問題文全文(内容文)：

f (x) = \log (x + 1) + 1

とする。以下の問いに答えよ。
(1)方程式

f (x) = x

は、

x > 0

の範囲でただ1つの解を
もつことを示せ。
(2)(1)の解を

α

とする。実数

x

が

0 < x < α

を満たすならば、
次の不等式が成り立つことを示せ。

0 < \frac{α - f (x)}{α - x} < f^{'} (x)

(3)数列

{x_{n}}

を

x_{1} = 1, x_{n + 1} = f (x_{n}) (n = 1, 2, 3, \dots \dots)

で定める。このとき、全ての自然数nに対して

α - x_{n + 1} < \frac{1}{2} (α - x_{n})

が成り立つことを示せ。
(4)(3)の数列

{x_{n}}

について、

lim_{n \to \infty} x_{n} = α

を示せ。

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問題文全文(内容文)：
次の和

S

を求めよ。

S = 1 ・ 1 + 2 ・ 3 + 3 ・ 3^{2} + 4 ・ 3^{3} +

\dots + n ・ 3^{n - 1}

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背景を見破れ！

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問題文全文(内容文)：
これを解け.

\frac{1}{2! 9!} + \frac{1}{3! 8!} + \frac{1}{4! 7!} + \frac{1}{5! 6!} = \frac{n}{10!}

\sum_{k = 1}^{6} \frac{1}{k! (13 - k)!} = \frac{n}{12!}

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