福田のおもしろ数学030〜調和級数は発散しない？〜驚くべき事実がここに

問題文全文(内容文)：
調和級数

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \dots

について解説します

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
調和級数

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \dots

について解説します

投稿日：2024.01.20

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問題文全文(内容文)：

n

：自然数

a_{n} = \int_{1}^{\sqrt{2}} x (2 - x^{2})^{n} d x

とおく

lim_{n \to \infty} n a_{n}

を求めよ。

出典：2019年東京都市大学　入試問題

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x, y

：異なる正の実数

a_{1} = 0

a_{n + 1} = x a_{n} = s a_{n} + y^{n + 1}

のとき

lim_{n \to \infty} a_{n} < \infty

となるような

(x, y)

の範囲を図示せよ。

出典：2007年京都大学　入試問題

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
実数

x

に対して

f (x) = lim_{x \to \infty} n {\sin (\frac{1 + n}{n} x) + \sin (\frac{1 - n}{n} x)}

とおく。
次の問いに答えよ。
１．

f (x)

を求めよ。
２．定積分

\int_{0}^{π} f (x) d x

を求めよ。

出典：2012年兵庫県立大学中期　入試問題

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問題文全文(内容文)：

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{p} + \dots = ?

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

自然数

n

に対し,

f_{n} (x) = x^{- 1 + \frac{1}{n}} (x > 0)

とおく.
また,正の実数

a_{n}

は

\int_{1}^{a_{n}} f_{n} (x) d x = 1

満たすものとする.次の問い　
答えよ.

(1)関数

f_{n} (x)

の不定積分を求めよ.

(2)

a_{n}

の値と極限

lim_{n \to \infty} a_{n}

を求めよ.また,正の実数

b_{n}

が

\int_{1}^{b_{n}} f_{n + 1} (x) d x = - 1

を満たすとき,

b_{n}

の値と極限

lim_{n \to \infty} b_{n}

を求めよ.

(3)2以上の自然数

k

に対して

\int_{k - 1}^{k} f_{n} (x) d x > \frac{1}{k}

を示し,これを利用して

a_{n} < 4

を証明せよ.

(4)

\int_{1}^{a_{n}} f_{n + 1} (x) d x < 1

を示し,これを利用して$a_n\lt a_{n+1}＄を証明せよ.

2021中央大理工学部過去問

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