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$m,n:$正の整数
$x^3-mx^2+nx-n=0$のすべての解が正の整数であるような組$(m,n)$を求めよ。

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次のような自然数の積 $N$ を計算すると、末尾には $0$ が連続して何個並ぶか

(1) $1$ から $125$ までの $125$ 個の自然数の積 $N=1\cdot2\cdot3\cdots125$

(2) $1$ から $300$ までの $300$ 個の自然数の積 $N=1\cdot2\cdot3\cdots300$

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正の整数 $n$ に対して、$n$ の正の約数の個数を $f(n)$ とする。例えば $12$ の正の約数は $1, 2, 3, 4, 6, 12$ の $6$ 個であるから $f(12) = 6$ である。
(1) $f(5040) = [\text{シ}]$ である。
(2) $f(k) = 15$ を満たす正の整数 $k$ のうち、2番目に小さいものは $[\text{ス}]$ である。
(3) 大小2つのサイコロを投げるとき、出る目の積を $L$ とする。$f(L) = 4$ となる確率は $[\text{セ}]$ である。
(4) 正の整数 $m$ と $n$ は互いに素で、等式 $f(mn) = 3f(m) + 5f(n) - 13$ を満たすとする。このとき、$mn$ を最小にする $m$ と $n$ の組 $(m, n)$ は $[\text{ソ}]$ である。

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これを解け.
$\dfrac{x}{x^2+3x+2}-\dfrac{x}{x^2+5x+2}=\dfrac{1}{24}$

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自然数 $n$ に対して $n \cdot 2^n +1$ が平方数となるような $n$ をすべて求めて下さい。