福田の数学〜上智大学2024理工学部第1問(2)〜定積分の計算 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜上智大学2024理工学部第1問(2)〜定積分の計算

問題文全文(内容文):
$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{2\sin x}{x^3}dx=-\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x}{x}dx+\fbox{エ}\pi^p+\fbox{オ}\sqrt{\fbox{カ}}\pi^q$
ただし、$p=\fbox{キ},q=\fbox{ク}$である。
単元: #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{2\sin x}{x^3}dx=-\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x}{x}dx+\fbox{エ}\pi^p+\fbox{オ}\sqrt{\fbox{カ}}\pi^q$
ただし、$p=\fbox{キ},q=\fbox{ク}$である。
投稿日:2024.09.30

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問題文全文(内容文):
$xy$平面上の曲線$C$を、媒介変数tを用いて次のように定める。
$x=t+2\sin^{2t}, y=t+\sin t (0\lt t\lt \pi)$
以下の問いに答えよ。
(1)曲線$C$に接する直線のうち$y$軸と平行なものがいくつあるか求めよ。
(2)曲線$C$のうち$y≦x$の領域にある部分と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を求めよ。
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問題文全文(内容文):
$f(x)=\sqrt{ \displaystyle \frac{x}{1+x} }(0 \leqq x \leqq 1)$
(1)
逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ。

(2)
$I=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{ \sin\ x-\sin^2x }\ dx$

(3)
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{ \sin^3x-\sin^4x }\ dx$
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問題文全文(内容文):
(1)
実数$x$に対して定積分$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{1}t\ \sin(x+\pi t)dt$を求めよ。

(2)
関数$f(x)$の最大値を求めよ。

出典:2012年首都大学東京 入試問題
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