福田の数学〜千葉大学2022年理系第７問〜不定方程式の自然数解と漸化式で与えられた数列

問題文全文(内容文)：

x, y

についての方程式

x^{2} - 6 x y + y^{2} = 9 \dots \dots (*)

に関する次の問いに答えよ。
(1)

x, y

がともに正の整数であるような(*)の解のうち、yが最小であるものを
求めよ。
(2)数列

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots

が漸化式

a_{n + 2} - 6 a_{n + 1} + a_{n} = 0 (n = 1, 2, 3, \dots)

を満たすとする。このとき、

(x, y) = (a_{n + 1}, a_{n})

が(*)を満たすならば、

(x, y) = (a_{n + 2}, a_{n + 1})

も(*)を満たすことを示せ。
(3)(*)の整数解(x,y)は無数に存在することを示せ。

2022千葉大学理系過去問

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

x, y

についての方程式

x^{2} - 6 x y + y^{2} = 9 \dots \dots (*)

に関する次の問いに答えよ。
(1)

x, y

がともに正の整数であるような(*)の解のうち、yが最小であるものを
求めよ。
(2)数列

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots

が漸化式

a_{n + 2} - 6 a_{n + 1} + a_{n} = 0 (n = 1, 2, 3, \dots)

を満たすとする。このとき、

(x, y) = (a_{n + 1}, a_{n})

が(*)を満たすならば、

(x, y) = (a_{n + 2}, a_{n + 1})

も(*)を満たすことを示せ。
(3)(*)の整数解(x,y)は無数に存在することを示せ。

2022千葉大学理系過去問

投稿日：2022.05.19

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問題文全文(内容文)：

a_{1} = 2, b_{1} = 1

c_{n} = a_{n} b_{n}

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 b_{n}

b_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n}

①

c_{2}

②

c_{n}

は偶数
③

n

が偶数なら

c_{n}

は28の倍数であることを示せ.

2021北海道大過去問

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

A, B

2人でサイコロを投げる。
1回目は

A

1, 2, 3 \to

同じ人が投げる

4, 5 \to

別の人が投げる

6 \to

勝ち、終了

（1）

n

回目に

A

が投げる確率

a_{n}

は？

（2）
ちょうど

n

回目で

A

が勝つ確率は？

（3）

n

回以内に

A

が勝つ確率は？

出典：一橋大学　過去問

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数列 By Picmin3daisukiさん

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問題文全文(内容文)：

a_{1} = \sin^{2} 2

a_{n + 1} = 4 a_{n} (1 - a_{n})

を満たす一般項

a_{n}

を求めよ。

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これ解けますか？

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問題文全文(内容文)：
成立させよ
0+0+0+0=24

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問題文全文(内容文)：

\overset{100 桁}{\overset{⏞}{111 ･ ･ ･ ･ ･ ･ 11}}

243

で割った余りを求めよ.

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜千葉大学2022年理系第７問〜不定方程式の自然数解と漸化式で与えられた数列

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