問題文全文(内容文)：
$$\overline{)\begin{array}{ccccc}1& 2& 5& 10& \\ 4& 3& 6& 11& \\ 9& 8& 7& 12& \\ 16& 15& 14& 13& \\ \end{array}}$$

上図のように自然数を配置していく。
$m$行目、$n$列目にある数を$a(m,n)$と
表すことにする。
例えば、$a(3,2)=8$　である。
次の問いに答えよ。

(1)$a(1,n)$
(2)$a(m,m)$
(3)$a(m,n)$
(4)150は何行目の何列目に出てくるか。

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}3\mathrm{問}$
数列$\left\{a_n\right\}$は、初項$a_1$が$0$であり、$n=1,2,3,\cdots$のとき次の漸化式を
満たすものとする。
$a_{n+1}=$${\displaystyle \frac{n+3}{n+1}\{3a_n+3^{n+1}-}$$(n+1)(n+2)\}$　$\cdots$①

(1)$a_2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$　である。

(2)$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)}}$とおき、数列$\left\{b_n\right\}$の一般項を求めよう。
$\left\{b_n\right\}$の初項$b_1$は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$である。①の両辺を$3^{n+1}(n+2)(n+3)$で
割ると
$b_{n+1}=b_n$$+{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}{(n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}})(n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}})}}$$-{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}\right)}^{n+1}$

を得る。ただし、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}<\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$とする。

したがって

$b_{n+1}-b_n=$$\left({\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}}\right)$$-{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}\right)}^{n+1}$
である。

$n$を2以上の自然数とするとき

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left({\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{k+\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{k+\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}}\right)}$$={\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}\left({\displaystyle \frac{n-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}{n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}\right)}^{k+1}=}$${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}\right)}^n}}$

が成り立つことを利用すると

$b_n={\displaystyle \frac{n-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}(n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}})}}$$+{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}\right)}^n}$

が得られる。これは$n=1$のときも成り立つ。

(3)(2)により、$\left\{a_n\right\}$の一般項は
$a_n={\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}^{n-\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}}(n^2-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}})+$${\displaystyle \frac{(n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}})(n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}})}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}}}$

で与えられる。ただし、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}<\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}$とする。
このことから、すべての自然数$n$について、
$a_n$は整数となることが分かる。

(4)$k$を自然数とする。$a_{3k},a_{3k+1},a_{3k+2}$で割った余りはそれぞれ
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}},$　$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}},$　$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}}}$である。また、$\left\{a_n\right\}$の初項から
第2020項までの和を$3$で割った余りは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}}}$である。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
(1)三角形$ABC$の内接円が辺$AB$と接する点をPとし、
辺$BC$と接する点を$Q$とし、辺$CA$と接する点をRとする。
$\mathrm{\angle }A$の大きさを$\theta$とすると、$\mathrm{\angle }APR=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$であり、
$\mathrm{\angle }PQR=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}0\mathrm{①}\frac{\pi }{2}\mathrm{②}\theta \mathrm{③}\frac{\theta }{2}\mathrm{④}\frac{\pi }{2}-\theta \mathrm{⑤}\frac{\pi -\theta }{2}$
$\mathrm{⑥}\pi -\frac{\theta }{2}\mathrm{⑦}\pi -\theta \mathrm{⑧}\frac{\pi -3\theta }{2}\mathrm{⑨}\frac{\pi }{2}-3\theta$

(2)三角形$T_1$の3つの角のうち、角の大きさが最小のものは$\frac{\pi }{6}$で、
最大のものは$\frac{\pi }{2}$であるとする。
$n=1,2,3,...$について、三角形$T_n$の内接円を$O_n$とし、
$T_n$と$O_n$とが接する3つの点を頂点とするような三角形を$T_{n+1}$とする。
このとき、三角形$T_2$の3つの角のうち、
角の大きさが最小のものは$\frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}$で、
最大のものは$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}\mathrm{オ}}}}$である。
$n=1,2,3,...$について、三角形$T_n$の3つの角のうち、
角の大きさが最小のものを$a_n$とし、最大のものを$b_n$とする。三角形$T_{n+1}$について、
$a_{n+1}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}},b_{n+1}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$
と表せる。この式より
$a_n+b_n=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}\pi ,$
$b_n-a_n=\frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}\mathrm{・}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}^{n-1}}$
であり、$a_n=\frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}(1-\frac{1}{{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}^n})$である。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}、\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}\frac{a_n}{2}\mathrm{①}\frac{b_n}{2}\mathrm{②}\frac{\pi }{2}-a_n\mathrm{③}\frac{\pi }{2}-b_n\mathrm{④}\frac{\pi -a_n}{2}$
$\mathrm{⑤}\frac{\pi -b_n}{2}\mathrm{⑥}\pi -\frac{a_n}{2}\mathrm{⑦}\pi -\frac{b_n}{2}\mathrm{⑧}\pi -a_n\mathrm{⑨}\pi -b_n$

2022明治大学全統過去問

問題文全文(内容文)：
$2021!$を$5^{504}$で割った余りを求めよ.

問題文全文(内容文)：
旭川医科大学過去問題
$0.2\dot{2}{\dot{1}}_{(3)}$
十進法の分数に

弘前大学過去問題
$x_n=2^{n-1}n$
初項～n項の和