レピュニット数の剰余

問題文全文(内容文)：

\underset{100 個}{\underset{⏟}{11111 ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ 11}}

を81で割った余りを求めよ.

単元： #数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\underset{100 個}{\underset{⏟}{11111 ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ 11}}

を81で割った余りを求めよ.

投稿日：2020.06.29

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問題文全文(内容文)：

5

nを2以上の自然数とする。
(1)0≦x≦1のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

\frac{1}{2} x^{2}

≦

(- 1)^{n} {\frac{1}{x + 1} - 1 - \sum_{k = 2}^{n} (- x)^{k - 1}}

≦

x^{n} - \frac{1}{2} x^{n + 1}

(2)

a_{n}

\sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k}

　とするとき、次の極限値を求めよ。

lim_{n \to \infty} (- 1)^{n} n (a_{n} - \log 2)

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問題文全文(内容文)：
次の等式を証明せよ。
（1）

4 a b = (a + b)^{2} - (a - b)^{2}

（2）

(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c + b d)^{2} + (a d - b c)^{2}

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問題文全文(内容文)：
「

x ＞ 3

」の否定は「

x ＜ 3

」

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問題文全文(内容文)：

(p - 1)! + 1

は

p

の倍数であることを示せ.

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問題文全文(内容文)：

(x - 7 y)^{7}

の展開式における

x^{4} y^{3}

の項の係数を求めよ

_{7} C_{3 x^{4}} (- 2 y)^{3} = - 280 x^{4} y^{3}

係数：-280

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