問題文全文(内容文)：
次の無限級数の和を求めよ。
(1)$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{3} \right)^n \cos n\pi$

(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( -\dfrac{1}{3} \right)^n \sin \dfrac{n\pi}{2}$

問題文全文(内容文)：
$ \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \dfrac{\sqrt x -1}{\sqrt[3]{x}-1}$,これを解け.

問題文全文(内容文)：
(1)次の不等式を満たす実数$x$の値の範囲を、区間で示す記号で示せ。

①$3\lt x \lt 7$

②$-2 \leqq x \leqq 0$

③$-4 \lt x \leqq 5$

④$x \geqq 12$

(2)次の関数が連続である区間を求めよ。

⑤$f(x)=\sqrt{-3x+2}$

⑥$f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-3x+2}$

⑦$f(x)=\log_2 \vert x \vert$

問題文全文(内容文)：
複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},　p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、次式が成り立つ。
$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}},　p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_{ n } はM_{ n }=n+\fbox{ス}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_{ n }はR_{ n }=M_{ n }×P_{ n }$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\fbox{セ}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{ n+1 }=R_{ n }+(1-P_{ n })×\fbox{セ}$となる。したがって、
$P_{ n+1 }=\dfrac{n+\fbox{ソ}}{n+\fbox{タ}}×P_{ n }+\dfrac{1}{n+\fbox{チ}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)×(n+\fbox{ツ})×(P_{n}-\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}})$がnに依らず一定となる事が分かり、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } P_n =\dfrac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$と求められる。

2023杏林大学医過去問

問題文全文(内容文)：
次の極限値を求めよう。
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}x\sin・\dfrac{1}{x}$