問題文全文(内容文)：
$t$を実数とするとき、
　　$x=2t+1$
　　$y=4t^2+2t+1$
で表される点$(x,y)$の描く軌跡を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$0\leqq t\leqq 1$とする.
$x=\sqrt t$
$y=\sqrt t-t$
と$x$軸で囲まれた図形を
$x$軸のまわりに回転してできる回転体の
体積$V$を求めよ.

問題文全文(内容文)：
次の極方程式の表す円の中心の極座標と半径を求めよ。

(1)$r = 4 \cos\left(\theta - \frac{\pi}{4} \right)$

(2)$r = \cos \theta + \sqrt{3} \sin \theta$

問題文全文(内容文)：
$z=\displaystyle \frac{\sqrt{ 3 }-1}{2}+\displaystyle \frac{\sqrt{ 3 }+1}{2}i$

（1）
$\displaystyle \frac{z}{1+i}$を$a+bi$の形で表せ

（2）
$z$を極形式で表せ

（3）
$z^{12}$を求めよ

出典：2004年国立大学法人群馬大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$

座標平面上の点

$A(0,0),B(0,1),C(1,1),D(1,0)$を考える。

実数$0\lt t \lt 1$に対して、

線分$AB,BC,CD$を$t:(1-t)$に内分する点を

それぞれ$S_t,T_t$とする。

さらに、線分$S_tT_t$を$t:(1-t)$に内分する点を

$U_t$とする。

また、点$A$を$U_0$、点$D$を$U_1$とする。

(1)点$U_t$の座標を求めよ。

(2)$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くときに

点$U_t$描く曲線と、

線分$AD$で囲まれた部分の面積を求めよ。

(3)$a$を$0\lt a\lt 1$を満たす実数とする。

$t$が$0\leqq t \leqq a$の範囲を動くときに点$U_t$が

描く曲線の長さを、$a$の多項式の形で求めよ。

図は動画内参照

$2025$年東京大学理系過去問題