問題文全文(内容文)：
弘前大学過去問題
n自然数
$x^3+3nx^2-(3n+2)=0$
(1)全ての自然数nについて正の解をただ１つしかもたないことを示せ。
(2)各自然数nに対して正の解を$a_n$とする。
　$\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 曲線C:y=e^xを考える。\\
(1)a,bを実数とし、a \geqq 0とする。曲線Cと直線y=ax+bが共有点をもつため\\
のaとbの条件を求めよ。\\
(2)正の実数tに対し、C上の点A(t,e^t)を中心とし、直線y=xに接する円Dを\\
考える。直線y=xと円Dの接点Bのx座標は\boxed{\ \ タ\ \ }であり、\\
円Dの半径は\boxed{\ \ チ\ \ }である。線分ABを3:2に内分する点をPとし、Pのx座標、y座標\\
をそれぞれX(t),Y(t)とする。このとき、等式\\
\lim_{t \to \infty}\frac{Y(t)-kX(t)}{\sqrt{\left\{X(t)\right\}^2+\left\{Y(t)\right\}^2}}=0\\
が成り立つような実数kを定めるとk=\boxed{\ \ ツ\ \ }である。\\
ただし、\lim_{t \to \infty}te^{-t}=0である。
\end{eqnarray}

2022慶應義塾大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 以下の文章を読んで後の問いに答えよ。
三角関数$\cos x$, $\sin x$については加法定理が成立するが、逆に加法定理を満たす関数はどのようなものがあるだろうか。実数全体を定義域とする実数値関数$f(x)$, $g(x)$が以下の条件を満たすとする。
(A)すべてのx, yについて$f(x+y)$=$f(x)$$f(y)$-$g(x)$$g(y)$
(B)すべてのx, yについて$g(x+y)$=$f(x)$$g(y)$+$g(x)$$f(y)$
(C)$f(0)$$\ne$0
(D)$f(x)$, $g(x)$はx=0で微分可能で$f'(0)$=0, $g'(0)$=1
条件(A), (B), (C)から$f(0)$=1, $g(0)$=0 がわかる。以上のことから$f(x)$, $g(x)$はすべてのxの値で微分可能で、$f'(x)$=$-g(x)$, $g'(x)$=$f(x)$が成立することが示される。上のことから$\left\{f(x)+ig(x)\right\}$$(\cos x-i\sin x)$=1 であることが、実部と虚部を調べることによりわかる。ただし$i$は虚数単位である。よって条件(A), (B), (C), (D)を満たす関数は三角関数$f(x)$=$\cos x$, $g(x)$=$\sin x$であることが示される。
さらに、a, bを実数でb≠0とする。このとき条件(D)をより一般的な(D)', $f(x)$, $g(x)$はx=0で微分可能で$f'(0)$=a, $g'(0)$=b
におきかえて、条件(A), (B), (C), (D)'を満たす$f(x)$, $g(x)$はどのような関数になるか考えてみる。この場合でも、条件(A), (B), (C)から$f(0)$=1, $g(0)$=0が上と同様にわかる。ここで
$p(x)$=$e^{-\frac{a}{b}x}f(\frac{x}{b})$,　$q(x)$=$e^{-\frac{a}{b}x}g(\frac{x}{b})$
とおくと、条件(A), (B), (C), (D)において、$f(x)$を$p(x)$に、$g(x)$を$q(x)$におきかえた条件が満たされる。すると前半の議論により、$p(x)$, $q(x)$がまず求まり、このことを用いると$f(x)$=$\boxed{\ \ ア\ \ }$, $g(x)$=$\boxed{\ \ イ\ \ }$が得られる。
(1)下線部①について、$f(0)$=1, $g(0)$=0であることを示せ。
(2)下線部②について、$f(x)$がすべてのxの値で微分可能な関数であり、
$f'(x)$=$-g(x)$となることを示せ。
(3)下線部③について、下線部①、下線部②の事実を用いることにより、
$\left\{f(x)+ig(x)\right\}$$(\cos x-i\sin x)$=1 となることを示せ。
(4)下線部④について、条件(B), (D)において、$f(x)$を$p(x)$に、$g(x)$を$q(x)$におきかえた条件が満たされることを示せ。つまり$p(x)$を$q(x)$が、
(B)すべてのx, yについて、$q(x+y)$=$p(x)$$q(y)$+$q(x)$$p(y)$
(D)$p(x)$, $q(x)$はx=0 で微分可能で$p'(0)$=0, $q'(0)$=1
を満たすことを示せ。また空欄$\boxed{\ \ ア\ \ }$, $\boxed{\ \ イ\ \ }$に入る関数を求めよ。

2023九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$3^\pi \gt \pi^3$を示せ
$e \lt 3 \lt \pi$は利用してよい

出典：2016年藤田保健衛生大学医学部　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{6}$ 関数$f(x)$=$-\frac{1}{2}x$$-\frac{4}{6x+1}$について、以下の問いに答えよ。
(1)曲線y=f(x)の接線で、傾きが1であり、かつ接点のx座標が正であるものの方程式を求めよ。
(2)座標平面上の2点P(x, f(x)), Q(x+1, f(x)+1)を考える。xが0≦x≦2の範囲を動くとき、線分PQが通過してできる図形Sの概形を描け。またSの面積を求めよ。

2023東北大学理系過去問