問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$放物線$C:y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$　$(a \gt 0)$における法線lの方程式を$y=f(x)$
とおくと、$f(x)=\boxed{\ \ ア\ \ }$となる。またCとlの交点のうちPと異なる方の点Qを
求めると、$Q(\boxed{\ \ イ\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ }^2)$となる。以下、Cとlで囲まれた部分をDとし、
Dをlの周りに1回転して得られる回転体の体積$V(a)$を求める。Dに含まれるl上
の点を$R(t,\ f(t))$　$(\boxed{\ \ イ\ \ }$ $\leqq t \leqq a)$とおく。Rを通りlに垂直な直線は
$y=2a(x-t)+f(t)$で与えられる。この直線と$y=x^2$の2つの交点のうち
Dに含まれる方の点Sのx座標は$x=a-\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t}$ となる。このとき
線分RSの長さ$r=g(t)$は$g(t)=\boxed{\ \ エ\ \ }(t-a+\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t})$となる。
線分QRの長さ$s=h(t)$は$h(t)=\boxed{\ \ オ\ \ }(t-\boxed{\ \ イ\ \ })$で与えられるので、
$V(a)=\pi\int_0^{h(a)}r^2ds=\pi\int_{\boxed{イ}}^a\left\{g(t)\right\}^2h'(t)dt$
$=\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_{\boxed{イ}}^a(a-t)(-\sqrt{a-t}+\boxed{\ \ ウ\ \ })^2dt$
となる。ここで$u=\sqrt{a-t}$とおいて置換積分を行えば
$V(a)=2\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_0^{\boxed{ウ}}\left\{u^5-2\boxed{\ \ ウ\ \ }u^4+(\boxed{\ \ ウ\ \ })^2u^3\right\}du=\boxed{\ \ カ\ \ }$
が求まる。さらに、$a \gt 0$の範囲で$a$を動かすとき、$\lim_{a \to +0}V(a)=\lim_{a \to \infty}V(a)=\infty$
であり、$V(a)$を最小にするaの値は$a=\boxed{\ \ キ\ \ }$である。

$\boxed{\ \ ア\ \ }$の解答群
ⓐ$-\frac{2}{a}(x-a)+a^2$　ⓑ$-\frac{1}{a}(x-a)+a^2$　ⓒ$-\frac{1}{2a}(x-a)+a^2$　ⓓ$-2a(x-a)+a^2$

$\boxed{\ \ イ\ \ }～\ \boxed{\ \ オ\ \ }$の解答群
ⓐ$-\frac{a^2-1}{a}$　ⓑ$-\frac{2a^2-1}{2a}$　ⓒ$-\frac{a^2+1}{a}$　ⓓ$-\frac{2a^2+1}{2a}$
ⓔ$\frac{\sqrt{a^2+4}}{2}$　ⓕ$\sqrt{a^2+1}$　ⓖ$\sqrt{4a^2+1}$　ⓗ$2a$
ⓘ$\frac{\sqrt{4a^2+1}}{2a}$　ⓙ$\frac{\sqrt{a^2+4}}{a}$　ⓚ$\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}$　ⓛ$\frac{\sqrt{a^2+1}}{2a}$
ⓜ$\sqrt{\frac{2a^2+1}{2a}}$ ⓝ$\sqrt{\frac{4a^2+1}{2a}}$　ⓞ$\sqrt{\frac{2a^2+1}{a}}$　ⓟ$\sqrt{\frac{4a^2+1}{a}}$

$\boxed{\ \ カ\ \ }$の解答群
$ⓐ\frac{(2a^2+1)^3(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi　ⓑ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{120a^4}\ \pi　ⓒ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi$
$ⓓ\frac{(2a^2+1)^3(4a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi　ⓔ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{480a^4}\ \pi　ⓕ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi$
$ⓖ\frac{(a^2+1)^2(4a^2+1)^2}{120a^{\frac{7}{2}}}\ \pi　ⓗ\frac{(4a^2+1)^4}{480\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi　ⓘ\frac{(4a^2+1)^4}{120\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi$

$\boxed{\ \ キ\ \ }$の解答群
$ⓐ\frac{1}{\sqrt5}　ⓑ\frac{1}{\sqrt2}　ⓒ1　ⓓ\sqrt2　ⓔ\frac{2}{\sqrt5}　ⓕ4$

2021中央大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第2問}$
(1)座標平面上で、次の二つの2次関数のグラフについて考える。
$y=3x^2+2x+3$　$\cdots$①
$y=2x^2+2x+3$　$\cdots$②

①、②の2次関数のグラフには次の共通点がある。

共通点
・$y$軸との交点の$y$座標は$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。
・$y$軸との交点における接線の方程式は$y=\boxed{\ \ イ\ \ }x+\boxed{\ \ ウ\ \ }$である。

次の⓪～⑤の2次関数のグラフのうち、$y$軸との交点における接線の方程式
が$y=\boxed{\ \ イ\ \ }x+\boxed{\ \ ウ\ \ }$となるものは$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$である。

$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$の解答群
⓪$y=3x^2-2x-3$
①$y=-3x^2+2x-3$
②$y=2x^2+2x-3$
③$y=2x^2-2x+3$
④$y=-x^2+2x+3$
⑤$y=-x^2-2x+3$

$a,b,c$を$0$でない実数とする。
曲線$y=ax^2+bx+c$上の点$\left(0,　\boxed{\ \ オ\ \ }\right)$における接線をlとすると
その方程式は$y=\boxed{\ \ カ\ \ }x+\boxed{\ \ キ\ \ }$である。

接線$l$と$x$軸との交点の$x$座標は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ クケ\ \ }}{\boxed{\ \ コ\ \ }}$である。
$a,b,c$が正の実数であるとき、曲線$y=ax^2+bx+c$と接線lおよび直線
$x=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ クケ\ \ }}{\boxed{\ \ コ\ \ }}$で囲まれた図形の面積をSとすると
$S=\displaystyle \frac{ac^{\boxed{サ}}}{\boxed{\ \ シ\ \ }\ b^{\boxed{ス}}}$　$\cdots$③
である。

③において、$a=1$とし、$S$の値が一定となるように正の実数$b,c$の値を
変化させる。このとき、$b$と$c$の関係を表すグラフの概形は$\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}$る。


$\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}$については、最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
(※選択肢は動画参照)

(2)座標平面上で、次の三つの3次関数のグラフについて考える。
$y=4x^3+2x^2+3x+5$　$\cdots$④
$y=-2x^3+7x^2+3x+5$　$\cdots$⑤
$y=5x^3-x^2+3x+5$　$\cdots$⑥

④、⑤、⑥の3次関数のグラフには次の共通点がある。
共通点
・$y$軸との交点の$y$座標は$\boxed{\ \ ソ\ \ }$である。
・$y$軸との交点における接線の方程式は$y=\boxed{\ \ タ\ \ }\ x+\boxed{\ \ チ\ \ }$である。

$a,b,c,d$を$0$でない実数とする。
曲線$y=ax^3+bx^2+cx+d$上の点$\left(0,　\boxed{\ \ ツ\ \ }\right)$における接線の
方程式は$y=\boxed{\ \ テ\ \ }\ x+\boxed{\ \ ト\ \ }$である。

次に、$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,$　$g(x)=\boxed{\ \ テ\ \ }\ x+\boxed{\ \ ト\ \ }$とし、
$f(x)-g(x)$について考える。

$h(x)=f(x)-g(x)$とおく。$a,b,c,d$が正の実数であるとき、$y=h(x)$
のグラフの概形は$\boxed{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$である。

$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの共有点の$x$座標は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ニヌ\ \ }}{\boxed{\ \ ネ\ \ }}$
と$\boxed{\ \ ノ\ \ }$である。また、$x$が$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ニヌ\ \ }}{\boxed{\ \ ネ\ \ }}$と$\boxed{\ \ ノ\ \ }$の間を動くとき、
$|f(x)-g(x)|$の値が最大となるのは、$x=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ハヒフ\ \ }}{\boxed{\ \ ヘホ\ \ }}$のときである。

$\boxed{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$については、最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
(※選択肢は動画参照)

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}(4)$座標平面上で放物線$y=x^2$上の点P$(t,t^2)(0 \leqq t \leqq 1)$における接線$y=-(x+1)^2$の二つの共有点の中点をQとする。ただし、共有点が1つの場合は、その共有点をQとする。Qの座標は$(\boxed{ユ}t+\boxed{ヨ}
,\boxed{ラ}t^2+\boxed{リ}t+\boxed{ル})$である。
tが$0 \leqq t \leqq1$の範囲を動くとき線分PQが動いてできる図形の面積は$\frac{\boxed{レ}}{\boxed{ロ}}$である

問題文全文(内容文)：
2021立命館大学過去問題
放物線$C:y=x^2-2x+2$
C上の2点A,BにP(t,0)から接線を引く
①直線ABの方程式をtを用いて表せ
②放物線Cと直線AP,BPとで囲まれる面積の最小値

問題文全文(内容文)：
aを$-3 \lt a \lt 13$を満たす実数とし、次の曲線Cと直線lが接しているとする。
$C:y=|x^2+(3-a)x-3a|,　l:y=-x+13$
以下の問いに答えよ。
(1)aの値を求めよ。
(2)曲線Cと直線lで囲まれた2つの図形のうち、点(a,0)が境界線上にある図形の面積を求めよ。

2022九州大学文系過去問