問題文全文(内容文)：

$\boxed{1}$

(5)$n$は$n\geqq 3$を満たす自然数とする。

複素数$z$を$\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin \dfrac{2\pi}{n}$とおき、

複素数平面において$z^k (0\leqq k \leqq n-1)$が表す点を

$P_k$とする。

ただし、$k$は整数、$i$は虚数単位とする。

(i)$n$個の点$P_0,P_1,P_2,\cdots P_{n-1}$を

頂点とする正$n$角形の面積を$S_n$とする。

$S_n$を$n$の式で表すと$S_n=\boxed{シ}$であり、

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めると$\boxed{ス}$である。

(ii)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} z^k$を求めると$\boxed{ス}$である。

(iii)$n=7$とする。

三角形$P_1P_2P_4$の重心を$A(\alpha)$、

三角形$P_3P_5P_6$の重心を$B(\beta)$とおく。

複素数$\alpha,\beta$を求めると、

$\alpha=\boxed{ソ},\beta=\boxed{タ}$である。

$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{8}$　実数$a$,$b$と虚数単位$i$を用いて複素数$z$が$z$=$a$+$bi$の形で表されるとき、$a$を$z$の実部、$b$を$z$の虚部と呼び、それぞれ$a$=$Re(z)$,$b$=$Im(z)$と表す。
(1)$z^3$=$i$を満たす複素数$z$をすべて求めよ。
(2)$z^{100}$=$i$を満たす複素数$z$のうち、$Re(z)$≦$\frac{1}{2}$かつ$Im(z)$≧0を満たすものの個数を求めよ。
(3)$n$を正の整数とする。$z^n$=$i$を満たす複素数$z$のうち、$Re(z)$≧$\frac{1}{2}$を満たすものの個数を$N$とする。$N$＞$\frac{n}{3}$となるための$n$に関する必要十分条件を求めよ。

問題文全文(内容文)：
（1）
$\sin 3x$を$\sin x$で表せ

（2）
$\sin x + \cos x=4\sin x \cos ^2x$を満たす$x$を求めよ


出典：1986年弘前大学　過去問

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$　$w$を$0$でない複素数、$x,y$を$w+\displaystyle \frac{1}{w}=x+yi$を満たす実数とする。
(1)実数$R$は$R \gt 1$を満たす定数とする。$w$が絶対値$R$の複素数
全体を動くとき、$xy$平面上の点$(x,\ y)$の軌跡を求めよ。

(2)実数$\alpha$は$0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$を満たす定数とする。$w$が偏角$\alpha$の複素数
全体を動くとき、$xy$平面上の点$(x,\ y)$の軌跡を求めよ。

京都大学過去問

問題文全文(内容文)：
Sを実部、虚部ともに整数であるような0以外の複素数全体の集合、Tを偏角 が0以上$\displaystyle \frac{π}{2}$未満であるようなSの要素全体の集合とする。またiは虚数単位とする。以下の問いに答えよ。
(1)$α=2$, $β=1+i$, $γ=1$のとき、 $|αβγ|$ の値を求めよ。
(2)複素数zについて、 arg z = $\displaystyle \frac{π}{8}$のとき arg(iz) の値を求めよ。
(3) α, ß, γ を Tの要素とする。このとき、$0 < |αβγ| ≦ \sqrt{5}$ を満たす α, ß, γ の
組の総数kの値を求めよ。
(4)α, ß, γをSの要素とする。このとき、$0 < |αβγ| ≦ \sqrt{5}$ および
$\displaystyle \frac{π}{8} ≦arg(αßγ) < \displaystyle \frac{5π}{8}$
を満たす α, β, yの組の総数をmとするとき、mをkで割った商と余りを求め
よ。

2023浜松医科大学医過去問