問題文全文(内容文)：
座標空間において原点 O を中心とする半径 1 の円 C がxy平面上にあり、x> 0の領域において点 A ( 0 ,- 1 , 0 )から点 B ( 0 , 1,0 )まで移動する C 上の動点を P とする。
(１) 下記の 2 条件を満たす直角二等辺三角形 PQR を考える。
・点 Q は C 上にあり、直線 PQ はx軸に平行である。
・点 R の z 座標は正であり、直線 PR はz軸に平行である。
点 P が点 A から点 B まで移動するとき、三角形 PQR の周および内部が通過してできる立体Vについて、以下の間いに答えよ。
(a) 点 P が点 A から点 B まで移動するとき、線分 PR が通過してできる曲面の展開図は、横軸に弧 AP の長さ、縦軸に線分 PR の長さをとったグラフを考えればよく、アで表される概形となり、その面積はイである。
線分 PQ の中点を M とし、点 M から直線 QR に引いた垂線と線分 QR との交点を H とする。点 H は線分 QR を 1 :ウに内分する点である。点 P の位置に依らず、線分の長さについて$\mathrm{エ}\times (MH{)}^2+(OM{)}^2=1$が成り立つ。点Pが点 A から点 B まで移動するとき、線分 MH が通過する領域の概形はオであり、面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{カ}}}{\mathrm{キ}}\pi }$である。
※ア、オの解答群は動画内参照
(b) 点 P が点 A から点 B まで移動するとき、線分 QR が通過してできる曲面上において、 2 点 A , B を結ぶ最も短い曲線はクが描く曲線である。
クの解答群①点 Q　②点 R　③設間( a )で考えた点 H　④線分 QR とyz平面との交点　⑤線分 QR を 1 :$\sqrt{2}$に内分する点　⑥線分 QR を$\sqrt{2}$: 1 に内分する点　⑦三角形 PQR の重心から線分 QR に引いた垂線と線分 QR との交点
(c) 点 P が点 A から点 B まで移動するとき、線分 PQ を直径とするxz平面に平行な円が通過してできる球の体積は${\displaystyle \frac{\mathrm{ケ}}{\mathrm{コ}}}$である。また△ PQR の面積は、線分 PQを直径とする円の面積の${\displaystyle \frac{\mathrm{サ}}{\pi }}$倍である。よって、立体Vの体積は${\displaystyle \frac{\mathrm{シ}}{\mathrm{ス}}}$である。
( 2 )$z\geqq 0$ の領域において、yz平面上の点 T を頂点とし、 2 点 P , Q を通る放物線Lを考える。ただし、 Q , T は下記の 2 条件を満たす点とする。
・点 Q は C 上にあり、直線 PQ はx軸に平行である。
・三角形 PQT はxz平面に平行であり、点 T の z 座標は線分 PQ の長さに等しい。点 P が(1,0,0)であるとき、放物線Lを表す式はy=0,$z=\mathrm{セ}\mathrm{ソ}{x}^2+\mathrm{タ}$（ただし$-1\leqq x\leqq 1$）であり、この放物線と線分 PQ で囲まれる図形の面積は${\displaystyle \frac{\mathrm{チ}}{\mathrm{ツ}}}$である。
点 P が点 A から点 B まで移動するとき、放物線 L と線分 PQ で囲まれる図形が通過してできる立体の体積は${\displaystyle \frac{\mathrm{テ}\mathrm{ト}}{\mathrm{ナ}}}$である。
点 P が点 A から点 B まで移動するとき、線分 PQ を直径とするxz平面に平行な円が通過してできる球の体積は${\displaystyle \frac{\mathrm{ケ}}{\mathrm{コ}}\pi }$である。また△ PQR の面積は、線分 PQ を直径とする円の面積の${\displaystyle \frac{\mathrm{サ}}{\pi }}$倍である。よって、立体体積はV の体積は${\displaystyle \frac{\mathrm{シ}}{\mathrm{ス}}}$である。

2023杏林大学過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 5}}$ 座標空間において、Oを原点とし、A(2,0,0), B(0,2,0), C(1,1,0)とする。$\mathrm{△}$OABを直線OCの周りに1回転してできる回転体をLとする。
(1)直線OC上にない点P(x,y,z)から直線OCにおろした垂線をPHとする。
$\overrightarrow{OH}$と$\overrightarrow{HP}$をx,y,zの式で表せ。
(2)点P(x,y,z)がLの点であるための条件は
$z^2\leqq 2xy$　かつ　$0\leqq x+y\leqq 2$
であることを示せ。
(3)$1\leqq a\leqq 2$とする。Lを平面x=aで切った切り口の面積S(a)を求めよ。
(4)立体$(x,y,z)|(x,y,z)\in L,1\leqq x\leqq 2$の体積を求めよ。

2018神戸大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x)dx}$

出典：2016年上智大学

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(定積分➁・絶対値編)

Q.次の定積分を求めよ。

①${\int }_1^9|\sqrt{x}-2|dx$

➁${\int }_1^{e^2}|logx-1|dx$