問題文全文(内容文)：

$\boxed{1}$

座標空間内の$3$点$A(1,1,-5),B(-1,-1,7),C(1,-1,3)$を

通る平面を$\alpha$とする。

点$P(a,b,t)$を通り$\alpha$に垂直な直線と

$xy$平面との交点を$Q$とする。

(1)点$Q$の座標を求めよ。

(2)$t$がすべての実数値をとって変化するときの

$OQ$の最小値が$1$以下となるような

$a,b$の条件を求めよ。

ただし、$O$は原点である。

$2025$年九州大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
問題1
$△ABC$の辺$AB$，$BC$，$CA$を2:1に内分する点を、それぞれ$A_1$，$B1_1$，$C_1$とする。更に、$△A_1B_1C_1$の辺$A_1B_1$，$B_1C_1$を2:1に内分する点を、それぞれ$A_2$，$B_2$とする。このとき、$A_2B_2//AB$であることを示せ。

問題2
△ABCにおいて、辺BCを2:1に外分する点をP，辺ABを1:2に内分する点をQ、辺CAの中点をRとする。
(1)3点P，Q，Rは一直線上にあることを証明せよ。
(2)QR:QPを求めよ。

問題3
平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をP、対角線BDを2:5に内分する点をQとする。
(1)3点P，Q，Cは一直線上にあることを証明せよ。
(2)PQ:QCを求めよ。

問題4
△ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をD、辺ACを3:1に内分する点をEとし、線分CD、BEの交点をPとする。$\overrightarrow{ AB }=\overrightarrow{ b }$，$\overrightarrow{ AC }=\overrightarrow{ c }$とするとき、$\overrightarrow{ AP }$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
平面ベクトル存在範囲 △OABに対し,OP=sOA+tOBとする。 点Pが次の条件を満たしながら動くとき、点Pの存在範囲を求めよ。(1)s+t=4,s≧0,t≧0

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{5}}$　座標平面上で、原点$O$を通り、$\overrightarrow{ u }=(\cos\theta,　 \sin\theta)$を方向ベクトルとする直線を
lとおく。ただし、$-\displaystyle \frac{\pi}{2} \lt \theta \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする。

(1)$\theta \neq \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする。直線lの法線ベクトルで、$y$成分が正であり、大きさが
1のベクトルを$\ \overrightarrow{ n }\ $とおく。点$P(1,1)$に対し、$\overrightarrow{ OP }=s\ \overrightarrow{ u }+t\ \overrightarrow{ n }$と表す。$a=\cos\theta,$
$b=\sin\theta$として、$s,t$のそれぞれを$a,b$についての1次式で表すと、$s=\boxed{\ \ テ\ \ },$
$t=\boxed{\ \ ト\ \ }$である。
点$P(1,1)$から直線lに垂線を下ろし、直線$l$との交点を$Q$とする。ただし、点$P$
が直線$l$上にあるときは、点$Q$は$P$とする。以下では$-\displaystyle \frac{\pi}{2} \lt \theta \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする。

(2)線分$PQ$の長さは、$\theta=\boxed{\ \ ナ\ \ }$のとき最大となる。
さらに、点$R(-3,1)$から直線$l$に垂線を下ろし、直線$l$との交点を$S$とする。
ただし、点$R$が直線$l$上にあるときは、点$S$は$R$とする。

(3)線分$QS$を$1:3$に内分する点を$T$とおく。$\theta$が$-\displaystyle \frac{\pi}{2} \lt \theta \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}$を満たしながら
動くとき、点$T(x,y)$が描く軌跡の方程式は$\boxed{\ \ ニ\ \ }=0$である。

(4)$PQ^2+RS^2$の最大値は$\boxed{\ \ ヌ\ \ }$である。

2021慶應義塾大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\vec{ a }=(2 ,2)$ ,$\vec{ b }=(3 ,1)$ のとき､$\vec{ x }-\vec{ b }$ が $\vec{ a }$に平行で､
かつ $| \vec{ x }+\vec{ b } |=4$ となるような$\vec{ x }$ を成分表示せよ｡